Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11701
2019-11-24 
Вдоль наклонной плоскости под углом $\beta$ к направлению спуска бросают кубик (рис.). Найти установившуюся скорость движения кубика, если коэффициент трения его о плоскость $k = tg \alpha$, где $\alpha$ - yrол наклона плоскости к горизонту
Решение:
На кубик действуют сила тяжести $P = mg$, сила нормальной реакции $N = mg \cos \alpha$ и сила трения $F_{тр}$ (рис.)
Рассмотрим составляющие сил вдоль плоскости. Вниз в сторону наибыстрейшего спуска (ось $y$) действует составляющая силы тяжести $F = mg \sin \alpha$; в сторону, противоположную скорости, действует сила трения $F_{тр} = kN = kmg \cos \alpha$. По условию, $k = tg \alpha$, поэтому $F_{тр} = tg \alpha \cdot mg \cos \alpha = mg \sin \alpha = F$.
Таким образом, задача сводится к рассмотрению движения кубика под действием двух одинаковых по величине сил. Одна из них направлена всегда против скорости кубика, другая - вдоль оси $y$.
Пусть в некоторый момент скорость $\vec{v}$ составляет с осью $y$ угол $\phi$ (рис.). Тангенциальное (направленное по касательной к траектории) ускорение $a$ кубика определяется силой $F_{тр} = F$ и проекцией $F \cos \phi$ силы $F$ на то же направление:
$a = \frac{F + F \cos \phi}{m}$.
Ускорение $a_{y}$ (вдоль оси $y$) определяется силой $F$ и проекцией $F_{тр} \cos \phi$ силы $F_{тр}$ на ось $y$. Легко видеть, что по величине это ускорение равно тангенциальному:
$a_{y} = \frac{F + F_{тр} \cos \phi}{m} = \frac{F + F \cos \phi}{m} = a$.
Таким образом, быстрота изменения величины полной скорости $a = \frac{ \Delta v}{ \Delta t}$ и быстрота изменения величины составляющей скорости вдоль оси $y$ $a_{y} = \frac{ \Delta v_{y}}{ \Delta t}$ одинаковы. Но если быстрота изменения во времени двух каких-либо величин одинакова, то сами эти величины различаются лишь на постоянную, не зависящую от времени. Обозначим эту постоянную через $V$. Тогда в любой момент времени
$v = v_{y} + V$.
Найти константу $V$ можно, подставив в эту формулу значения $v$ и $v_{y}$ в начальный момент движения кубика ($v = v_{0}, v_{y} = v_{0} \cos \beta$):
$v_{0} = v_{0} \cos \beta + V$.
Отсюда
$V = v_{0} (1 - \cos \beta)$,
Следовательно,
$v = v_{y} + v_{0} (1 - \cos \beta)$,
где
$v_{y} = v \cos \phi$.
По истечении достаточно длительного времени «поперечная» составляющая скорости кубика уменьшится до нуля. Кубик будет двигаться вниз вдоль оси $y$. В этом предельном состоянии $\phi = \pi$, то есть $\cos \phi = - 1; v_{y} = - v$.
Для установившейся скорости $v$ можно написать уравнение
$v = - v + v_{0} (1 - \cos \beta)$.
Отсюда
$v = v_{0} \frac{1 - \cos \beta}{2} = v_{0} \sin^{2} \frac{ \beta}{2}$.
Зная, что $a = a_{y}$, задачу можно решить также графически. Действительно, если изменение $\Delta v$ величины полной скорости равно изменению $\Delta v_{y}$, то легко найти величину и направление вектора $\vec{v}$ в любой момент времени.
Для этого можно применить следующее построение. Начертим вектор начальной скорости $\vec{v}_{0}$, направив его под углом $\beta$ к оси $y$ (рис.). Пусть через время $\Delta t$ составляющая $\vec{v}_{y}$ скорости кубика изменилась на $\Delta v_{y}$, а полная скорость - на $\Delta v = \Delta v_{y}$. Следовательно, через время $\Delta t$ вектор $\vec{v}_{0}$ будет на $\Delta v$ короче, и на такую же величину изменится величина его проекции на ось $y$.
Через точку В, лежащую ниже точки А (конца вектора $\vec{v}_{0}$) на отрезок $\Delta v_{y} = \Delta v$, проведем горизонтальную прямую ВС. Радиусом АВ, равным $\Delta v_{y} = \Delta v$, из точки А как из центра проведем дугу BD. Точка D отметит длину нового вектора $v = v_{0} - \Delta v$. Радиусом OD, равным $v = v_{0} - \Delta v$, из точки О как из центра проведем дугу DC. Точка С пересечения дуги с прямой ВС явится концом искомого вектора ОС равного $v$.
Такое построение можно сделать для любых интервалов времени $\Delta t$. Оно показывает, что вектор скорости $\vec{v}$ кубики укорачивается и приближается к оси $y$ (рис.). Из чертежа видно, что в предельном случае
$v + v_{0} \cos \beta = v_{0} - v$.
Отсюда
$v = \frac{v_{0}(1 - \cos \beta)}{2} = v_{0} \sin^{2} \frac{ \beta}{2}$.
Вдоль наклонной плоскости под углом $\beta$ к направлению спуска бросают кубик (рис.). Найти установившуюся скорость движения кубика, если коэффициент трения его о плоскость $k = tg \alpha$, где $\alpha$ - yrол наклона плоскости к горизонту
Решение:
На кубик действуют сила тяжести $P = mg$, сила нормальной реакции $N = mg \cos \alpha$ и сила трения $F_{тр}$ (рис.)
Рассмотрим составляющие сил вдоль плоскости. Вниз в сторону наибыстрейшего спуска (ось $y$) действует составляющая силы тяжести $F = mg \sin \alpha$; в сторону, противоположную скорости, действует сила трения $F_{тр} = kN = kmg \cos \alpha$. По условию, $k = tg \alpha$, поэтому $F_{тр} = tg \alpha \cdot mg \cos \alpha = mg \sin \alpha = F$.
Таким образом, задача сводится к рассмотрению движения кубика под действием двух одинаковых по величине сил. Одна из них направлена всегда против скорости кубика, другая - вдоль оси $y$.
Пусть в некоторый момент скорость $\vec{v}$ составляет с осью $y$ угол $\phi$ (рис.). Тангенциальное (направленное по касательной к траектории) ускорение $a$ кубика определяется силой $F_{тр} = F$ и проекцией $F \cos \phi$ силы $F$ на то же направление:
$a = \frac{F + F \cos \phi}{m}$.
Ускорение $a_{y}$ (вдоль оси $y$) определяется силой $F$ и проекцией $F_{тр} \cos \phi$ силы $F_{тр}$ на ось $y$. Легко видеть, что по величине это ускорение равно тангенциальному:
$a_{y} = \frac{F + F_{тр} \cos \phi}{m} = \frac{F + F \cos \phi}{m} = a$.
Таким образом, быстрота изменения величины полной скорости $a = \frac{ \Delta v}{ \Delta t}$ и быстрота изменения величины составляющей скорости вдоль оси $y$ $a_{y} = \frac{ \Delta v_{y}}{ \Delta t}$ одинаковы. Но если быстрота изменения во времени двух каких-либо величин одинакова, то сами эти величины различаются лишь на постоянную, не зависящую от времени. Обозначим эту постоянную через $V$. Тогда в любой момент времени
$v = v_{y} + V$.
Найти константу $V$ можно, подставив в эту формулу значения $v$ и $v_{y}$ в начальный момент движения кубика ($v = v_{0}, v_{y} = v_{0} \cos \beta$):
$v_{0} = v_{0} \cos \beta + V$.
Отсюда
$V = v_{0} (1 - \cos \beta)$,
Следовательно,
$v = v_{y} + v_{0} (1 - \cos \beta)$,
где
$v_{y} = v \cos \phi$.
По истечении достаточно длительного времени «поперечная» составляющая скорости кубика уменьшится до нуля. Кубик будет двигаться вниз вдоль оси $y$. В этом предельном состоянии $\phi = \pi$, то есть $\cos \phi = - 1; v_{y} = - v$.
Для установившейся скорости $v$ можно написать уравнение
$v = - v + v_{0} (1 - \cos \beta)$.
Отсюда
$v = v_{0} \frac{1 - \cos \beta}{2} = v_{0} \sin^{2} \frac{ \beta}{2}$.
Зная, что $a = a_{y}$, задачу можно решить также графически. Действительно, если изменение $\Delta v$ величины полной скорости равно изменению $\Delta v_{y}$, то легко найти величину и направление вектора $\vec{v}$ в любой момент времени.
Для этого можно применить следующее построение. Начертим вектор начальной скорости $\vec{v}_{0}$, направив его под углом $\beta$ к оси $y$ (рис.). Пусть через время $\Delta t$ составляющая $\vec{v}_{y}$ скорости кубика изменилась на $\Delta v_{y}$, а полная скорость - на $\Delta v = \Delta v_{y}$. Следовательно, через время $\Delta t$ вектор $\vec{v}_{0}$ будет на $\Delta v$ короче, и на такую же величину изменится величина его проекции на ось $y$.
Через точку В, лежащую ниже точки А (конца вектора $\vec{v}_{0}$) на отрезок $\Delta v_{y} = \Delta v$, проведем горизонтальную прямую ВС. Радиусом АВ, равным $\Delta v_{y} = \Delta v$, из точки А как из центра проведем дугу BD. Точка D отметит длину нового вектора $v = v_{0} - \Delta v$. Радиусом OD, равным $v = v_{0} - \Delta v$, из точки О как из центра проведем дугу DC. Точка С пересечения дуги с прямой ВС явится концом искомого вектора ОС равного $v$.
Такое построение можно сделать для любых интервалов времени $\Delta t$. Оно показывает, что вектор скорости $\vec{v}$ кубики укорачивается и приближается к оси $y$ (рис.). Из чертежа видно, что в предельном случае
$v + v_{0} \cos \beta = v_{0} - v$.
Отсюда
$v = \frac{v_{0}(1 - \cos \beta)}{2} = v_{0} \sin^{2} \frac{ \beta}{2}$.
