Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1170
2016-10-20 
Газ с молярной массой $\mu = 60 г/моль$ находится в герметичном сосуде с жёсткими стенками и поддерживается при постоянной температуре $T = 0^{ \circ} C$. Площадь поперечного сечения $S$ молекул, которые можно рассматривать как твёрдые шарики, равна $10^{-19} м^{2}$. Давление газа в начале эксперимента равно $p_{0} = 100 Па$. При освещении газа ультрафиолетовым светом молекулы, поглотившие квант света, переходят в возбуждённое состояние. Среднее время жизни молекулы в возбуждённом состоянии $\tau = 10^{-3} с$. При столкновении двух возбуждённых молекул в газе происходит химическая реакция, в результате которой из них образуется одна новая молекула. Известно, что за 1 секунду в каждом кубическом сантиметре газа возбуждается $N = 10^{12}$ молекул. Оцените, за какое время давление в сосуде уменьшится на $\epsilon = 1%$ от первоначального.
Решение:
При указанных в условии задачи температуре, молярной массе и давлении молекулы движутся со средними скоростями $v \sim \sqrt{3RT/ \mu } \approx 337 м/с$. Значит, за время своей жизни $\tau$ возбуждённая молекула пролетает расстояние $L = v \tau \approx 3,4 \cdot 10^{-1} м$. Объём, в котором летящая молекула может за это время столкнуться с другими молекулами, по порядку величины равен $V \approx 4LS$. Концентрация невозбуждённых молекул в сосуде перед началом освещения равна
$n = \frac{p_{0}N_{A}}{RT} \approx 2,7 \cdot 10^{22} м^{-3}$.
Концентрация же возбуждённых молекул составляет
$n_{в} = \tau N \cdot 10^{6} \approx 10^{15} м^{-3}$.
Одна возбуждённая молекула за своё время жизни $\tau$ могла бы столкнуться с другими возбуждёнными молекулами $\nu_{1}$ раз, причём $\mu_{1} = V n_{в} = 4v \tau S n_{в}4$. Значит, всего за это время в одном кубическом метре происходит
$\nu = \nu_{1} n_{в}/2 = 2v \tau S n_{в}^{2} \approx 0,68 \cdot 10^{11} м^{-3}$
столкновений между возбуждёнными молекулами. Коэффициент 1/2 появляется в последней формуле из-за того, что столкновения парные, то есть в каждом участвуют две молекулы. При каждом таком столкновении одна молекула исчезает, то есть скорость убывания концентрации
$\beta = \frac{ \nu}{ \tau} = 2vSn_{в}^{2} \approx 6,8 \cdot 10^{13} \frac{1}{м^{3} \cdot с}$.
Давление в сосуде уменьшится на $\epsilon = 1%$ тогда, когда на такую же величину уменьшится концентрация молекул $n$. Это произойдёт через время $t = \epsilon n/ \beta$. С учётом полученных выше выражений для $n, n_{в}, \beta$ и $v$, окончательно находим:
$t = \frac{ \epsilon n}{ \beta} = \frac{ \epsilon \frac{p_{0}N_{A}}{RT}}{2 \sqrt{3RT/ \mu} \cdot S \tau^{2} N^{2} \cdot 10^{12}} = \frac{ \epsilon p_{0} N_{A} \sqrt{ \mu}}{2 \cdot 10^{12} \cdot \tau^{2} N^{2} S \sqrt{3R^{3}T^{3}}} \approx 4 \cdot 10^{6} с \approx 46 суток$.
Следует отметить, что ответ носит оценочный характер, то есть время вычислено по порядку величины. Это связано с тем, что в расчётах более правильно использовать не среднюю, а среднюю относительную скорость движения молекул. Однако ввиду того, что эти скорости отличаются друг от друга не очень сильно (примерно в 1,4 раза), полученную оценку можно считать вполне удовлетворительной.
Газ с молярной массой $\mu = 60 г/моль$ находится в герметичном сосуде с жёсткими стенками и поддерживается при постоянной температуре $T = 0^{ \circ} C$. Площадь поперечного сечения $S$ молекул, которые можно рассматривать как твёрдые шарики, равна $10^{-19} м^{2}$. Давление газа в начале эксперимента равно $p_{0} = 100 Па$. При освещении газа ультрафиолетовым светом молекулы, поглотившие квант света, переходят в возбуждённое состояние. Среднее время жизни молекулы в возбуждённом состоянии $\tau = 10^{-3} с$. При столкновении двух возбуждённых молекул в газе происходит химическая реакция, в результате которой из них образуется одна новая молекула. Известно, что за 1 секунду в каждом кубическом сантиметре газа возбуждается $N = 10^{12}$ молекул. Оцените, за какое время давление в сосуде уменьшится на $\epsilon = 1%$ от первоначального.
Решение:
При указанных в условии задачи температуре, молярной массе и давлении молекулы движутся со средними скоростями $v \sim \sqrt{3RT/ \mu } \approx 337 м/с$. Значит, за время своей жизни $\tau$ возбуждённая молекула пролетает расстояние $L = v \tau \approx 3,4 \cdot 10^{-1} м$. Объём, в котором летящая молекула может за это время столкнуться с другими молекулами, по порядку величины равен $V \approx 4LS$. Концентрация невозбуждённых молекул в сосуде перед началом освещения равна
$n = \frac{p_{0}N_{A}}{RT} \approx 2,7 \cdot 10^{22} м^{-3}$.
Концентрация же возбуждённых молекул составляет
$n_{в} = \tau N \cdot 10^{6} \approx 10^{15} м^{-3}$.
Одна возбуждённая молекула за своё время жизни $\tau$ могла бы столкнуться с другими возбуждёнными молекулами $\nu_{1}$ раз, причём $\mu_{1} = V n_{в} = 4v \tau S n_{в}4$. Значит, всего за это время в одном кубическом метре происходит
$\nu = \nu_{1} n_{в}/2 = 2v \tau S n_{в}^{2} \approx 0,68 \cdot 10^{11} м^{-3}$
столкновений между возбуждёнными молекулами. Коэффициент 1/2 появляется в последней формуле из-за того, что столкновения парные, то есть в каждом участвуют две молекулы. При каждом таком столкновении одна молекула исчезает, то есть скорость убывания концентрации
$\beta = \frac{ \nu}{ \tau} = 2vSn_{в}^{2} \approx 6,8 \cdot 10^{13} \frac{1}{м^{3} \cdot с}$.
Давление в сосуде уменьшится на $\epsilon = 1%$ тогда, когда на такую же величину уменьшится концентрация молекул $n$. Это произойдёт через время $t = \epsilon n/ \beta$. С учётом полученных выше выражений для $n, n_{в}, \beta$ и $v$, окончательно находим:
$t = \frac{ \epsilon n}{ \beta} = \frac{ \epsilon \frac{p_{0}N_{A}}{RT}}{2 \sqrt{3RT/ \mu} \cdot S \tau^{2} N^{2} \cdot 10^{12}} = \frac{ \epsilon p_{0} N_{A} \sqrt{ \mu}}{2 \cdot 10^{12} \cdot \tau^{2} N^{2} S \sqrt{3R^{3}T^{3}}} \approx 4 \cdot 10^{6} с \approx 46 суток$.
Следует отметить, что ответ носит оценочный характер, то есть время вычислено по порядку величины. Это связано с тем, что в расчётах более правильно использовать не среднюю, а среднюю относительную скорость движения молекул. Однако ввиду того, что эти скорости отличаются друг от друга не очень сильно (примерно в 1,4 раза), полученную оценку можно считать вполне удовлетворительной.
