Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11699
2019-11-24 
20 г гелия, заключенного в цилиндре под поршнем, очень медленно переводят из состояния I ($P_{1} = 4,1 атм, V_{1} = 32 л$) в состояние II ($P_{2} = 15,5 атм, V_{2} = 9 л$). Какой наибольшей температуры достигает газ при этим процесе, если график зависимости давления от объема - прямая линия (рис.)?
Решение:
Нанесем на график сетку изотерм - гипербол $PV = const \frac{m}{ \mu}RT$. Чем выше температура газа, тем дальше находится вершина гиперболы oт начала координат. Поэтому ясно, что во время процесса I—II газ достигает такой наибольшей температуры, при которой соответствующая гипербола не пересекает прямую I—II, а только касается ее.
Так как точка с координатами $P$ и $V$, соответствующая максимальной температуре, лежит как на гиперболе, так и на прямой, то ее координаты должны удовлетворять двум уравнениям: уравнению гиперболы
$PB = \frac{m}{ \mu} RT$
и уравнению прямой
$P = \alpha V + \beta$
($\alpha$ и $\beta$ - постоянные. Их мы определим немного позже). Подставляя $P$ из второго уравнения в первое, получим квадратное уравнение для $V$:
$\alpha V^{2} + \beta V - \frac{m }{ \mu} RT = 0$.
Так как гипербола и прямая должны иметь лишь одну общую точку, то это уравнение может иметь только один корень, то есть его детерминант должен быть равен нулю:
$\beta^{2} + 4 \alpha \frac{m}{ \mu}RT = 0$.
Решая последнее уравнение относительно $T$, найдем
$T = - \frac{ \beta^{2} \mu }{4 \alpha mR}$.
В это выражение нужно подставить значения коэффициентов $\alpha$ и $\beta$. Так как точки I и II принадлежат одной и той же прямой $P = \alpha V + \beta$, то $P_{1} = \alpha V_{1} + \beta$ и $P_{2} = \alpha V_{2} + \beta$. Решая эту систему уравнений, найдем
$\alpha = - \frac{P_{2} - P_{1} }{V_{1} - V_{2} }, \beta = \frac{P_{2}V_{1} - P_{1}V_{2} }{V_{1} - V_{2} }$.
Поэтому
$T = \frac{(P_{2}V_{1} - P_{1}V_{2} )^{2} \mu }{4(P_{2} - P_{1} )(V_{1} - V_{2})mR }$.
Подставив численные значения входящих в это выражение величин, получим
$T \approx 490^{ \circ} К$
20 г гелия, заключенного в цилиндре под поршнем, очень медленно переводят из состояния I ($P_{1} = 4,1 атм, V_{1} = 32 л$) в состояние II ($P_{2} = 15,5 атм, V_{2} = 9 л$). Какой наибольшей температуры достигает газ при этим процесе, если график зависимости давления от объема - прямая линия (рис.)?
Решение:
Нанесем на график сетку изотерм - гипербол $PV = const \frac{m}{ \mu}RT$. Чем выше температура газа, тем дальше находится вершина гиперболы oт начала координат. Поэтому ясно, что во время процесса I—II газ достигает такой наибольшей температуры, при которой соответствующая гипербола не пересекает прямую I—II, а только касается ее.
Так как точка с координатами $P$ и $V$, соответствующая максимальной температуре, лежит как на гиперболе, так и на прямой, то ее координаты должны удовлетворять двум уравнениям: уравнению гиперболы
$PB = \frac{m}{ \mu} RT$
и уравнению прямой
$P = \alpha V + \beta$
($\alpha$ и $\beta$ - постоянные. Их мы определим немного позже). Подставляя $P$ из второго уравнения в первое, получим квадратное уравнение для $V$:
$\alpha V^{2} + \beta V - \frac{m }{ \mu} RT = 0$.
Так как гипербола и прямая должны иметь лишь одну общую точку, то это уравнение может иметь только один корень, то есть его детерминант должен быть равен нулю:
$\beta^{2} + 4 \alpha \frac{m}{ \mu}RT = 0$.
Решая последнее уравнение относительно $T$, найдем
$T = - \frac{ \beta^{2} \mu }{4 \alpha mR}$.
В это выражение нужно подставить значения коэффициентов $\alpha$ и $\beta$. Так как точки I и II принадлежат одной и той же прямой $P = \alpha V + \beta$, то $P_{1} = \alpha V_{1} + \beta$ и $P_{2} = \alpha V_{2} + \beta$. Решая эту систему уравнений, найдем
$\alpha = - \frac{P_{2} - P_{1} }{V_{1} - V_{2} }, \beta = \frac{P_{2}V_{1} - P_{1}V_{2} }{V_{1} - V_{2} }$.
Поэтому
$T = \frac{(P_{2}V_{1} - P_{1}V_{2} )^{2} \mu }{4(P_{2} - P_{1} )(V_{1} - V_{2})mR }$.
Подставив численные значения входящих в это выражение величин, получим
$T \approx 490^{ \circ} К$
