Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11697
2019-11-24 
Тяжелый обруч с невесомыми спицами расположен в вертикальной плоскости и может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр. В толще его обода закреплен маленький шарик, имеющий такую же массу, как и сам обруч. Каким будет период колебаний обруча вокруг оси? Как он изменится, если а) этот обруч перенести на Луну? б) поместить в жидкость, в которой он будет двигаться без трения?
Решение:
Займемся аналогиями. С ними читатели могут познакомиться, прочитав статью Я.А. Смородинского «Похожие движения». Воспользуемся аналогией с математическим маятником длины $R$.
Если максимальный угол отклонения маятника и прикрепленного к обручу шарика равен $\alpha_{0}$ (рис.), то при этом они находятся на высоте $h = R (1 - \cos \alpha_{0}) $ от положения равновесия. При угле отклонения $\alpha$ кинетическая энергия маятника (и обруча с шариком) равна разности потенциальных энергий при угле $\alpha_{0}$ и угле $\alpha$. Для математического маятника получаем
$\frac{mv^{2} }{2} = mgR ( \cos \alpha - \cos \alpha_{0})$.
Поэтому скорость маятника
$v = \sqrt{2gR ( \cos \alpha - \cos \alpha_{0})}$.
Так же, как и у маятника, меняется потенциальная энергия обруча с шариком. Потенциальная энергия самого обруча не меняется, но кинетическая энергия в этом случае равна сумме кинетических энергий шарика $E_{ш} = \frac{mv^{2} }{2}$ и обруча $E_{0} = \frac{mv^{2} }{2}$. Поэтому в случае обруча с шариком из закона сохраненья энергии следует, что
$\frac{mv^{2}}{2} + \frac{mv^{2} }{2} = mgR ( \cos \alpha - \cos \alpha_{0} )$,
и скорость шарика
$v = \sqrt{gR ( \cos \alpha - \cos \alpha_{0})}$.
При любом угле отклонения от положения равновесия скорость шарика в $\sqrt{2}$ раз меньше скорости математического маятника. Следовательно, и период колебаний обруча с шариком в $\sqrt{2}$ раз больше периода колебаний маятника и равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{2R}{g} }$.
Можно подойти к решению этой задачи и иначе. Если математический маятник отклонен от положения равновесия на угол $\alpha$, то его возвращает к положению равновесия составляющая силы тяжести, касательная к траектории движения маятника (рис.):
$F = mg \sin \alpha$.
Так как угол $\alpha$ мал, то $\sin \alpha \approx \alpha \approx \frac{x}{R}$, где $x$ - смещение маятника от положения равновесия Отсюда
$F \approx mg \frac{x}{R}$.
Поэтому для касательной составляющей ускорения маятника мы можем записать уравнение
$mg \frac{x}{R} = ma$ или $a = \frac{g}{R}x = cx$,
где $c = \frac{g}{R}$ - некоторый постоянный для данного маятника коэффициент. Период колебаний маятника равен $2 \pi \sqrt{ \frac{R}{g} }$, то есть $\frac{2 \pi}{ \sqrt{c} }$.
Аналогичный результат мы получим и для грузика, прикрепленного к пружинке и колеблющегося вдоль горизонтальной плоскости. Уравнение движения такого грузика $kx = ma$, а период колебаний $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }$.
В нашем случае сила, возвращающая шарик к положению равновесия, равна, как и в случае математического маятника, $mg \frac{x}{R}$, а ускорение $a$ сообщается и шарику, и обручу, то есть массе $2m$. Поэтому $mg \frac{x}{R} = 2ma$; значит, $c = \frac{g}{2R}$ и период колебаний системы $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{2R}{g} }$.
Если обруч с шариком перенести на Луну или поместить в сосуд с жидкостью, то его период колебаний изменится точно так же, как период колебаний математического маятника в первом случае увеличится в $\sqrt{6}$ раз ($g_{л} = \frac{1}{6} g_{з}$) из-за изменения ускорения свободного падения, а во втором - уменьшится в $\sqrt{1 - \frac{ \rho}{ \rho_{т} }}$ раз ($\rho$ - плотность воды и $\rho_{т}$ - плотность материала шарика) из-за влияния архимедовой выталкивающей силы
Тяжелый обруч с невесомыми спицами расположен в вертикальной плоскости и может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр. В толще его обода закреплен маленький шарик, имеющий такую же массу, как и сам обруч. Каким будет период колебаний обруча вокруг оси? Как он изменится, если а) этот обруч перенести на Луну? б) поместить в жидкость, в которой он будет двигаться без трения?
Решение:
Займемся аналогиями. С ними читатели могут познакомиться, прочитав статью Я.А. Смородинского «Похожие движения». Воспользуемся аналогией с математическим маятником длины $R$.
Если максимальный угол отклонения маятника и прикрепленного к обручу шарика равен $\alpha_{0}$ (рис.), то при этом они находятся на высоте $h = R (1 - \cos \alpha_{0}) $ от положения равновесия. При угле отклонения $\alpha$ кинетическая энергия маятника (и обруча с шариком) равна разности потенциальных энергий при угле $\alpha_{0}$ и угле $\alpha$. Для математического маятника получаем
$\frac{mv^{2} }{2} = mgR ( \cos \alpha - \cos \alpha_{0})$.
Поэтому скорость маятника
$v = \sqrt{2gR ( \cos \alpha - \cos \alpha_{0})}$.
Так же, как и у маятника, меняется потенциальная энергия обруча с шариком. Потенциальная энергия самого обруча не меняется, но кинетическая энергия в этом случае равна сумме кинетических энергий шарика $E_{ш} = \frac{mv^{2} }{2}$ и обруча $E_{0} = \frac{mv^{2} }{2}$. Поэтому в случае обруча с шариком из закона сохраненья энергии следует, что
$\frac{mv^{2}}{2} + \frac{mv^{2} }{2} = mgR ( \cos \alpha - \cos \alpha_{0} )$,
и скорость шарика
$v = \sqrt{gR ( \cos \alpha - \cos \alpha_{0})}$.
При любом угле отклонения от положения равновесия скорость шарика в $\sqrt{2}$ раз меньше скорости математического маятника. Следовательно, и период колебаний обруча с шариком в $\sqrt{2}$ раз больше периода колебаний маятника и равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{2R}{g} }$.
Можно подойти к решению этой задачи и иначе. Если математический маятник отклонен от положения равновесия на угол $\alpha$, то его возвращает к положению равновесия составляющая силы тяжести, касательная к траектории движения маятника (рис.):
$F = mg \sin \alpha$.
Так как угол $\alpha$ мал, то $\sin \alpha \approx \alpha \approx \frac{x}{R}$, где $x$ - смещение маятника от положения равновесия Отсюда
$F \approx mg \frac{x}{R}$.
Поэтому для касательной составляющей ускорения маятника мы можем записать уравнение
$mg \frac{x}{R} = ma$ или $a = \frac{g}{R}x = cx$,
где $c = \frac{g}{R}$ - некоторый постоянный для данного маятника коэффициент. Период колебаний маятника равен $2 \pi \sqrt{ \frac{R}{g} }$, то есть $\frac{2 \pi}{ \sqrt{c} }$.
Аналогичный результат мы получим и для грузика, прикрепленного к пружинке и колеблющегося вдоль горизонтальной плоскости. Уравнение движения такого грузика $kx = ma$, а период колебаний $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }$.
В нашем случае сила, возвращающая шарик к положению равновесия, равна, как и в случае математического маятника, $mg \frac{x}{R}$, а ускорение $a$ сообщается и шарику, и обручу, то есть массе $2m$. Поэтому $mg \frac{x}{R} = 2ma$; значит, $c = \frac{g}{2R}$ и период колебаний системы $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{2R}{g} }$.
Если обруч с шариком перенести на Луну или поместить в сосуд с жидкостью, то его период колебаний изменится точно так же, как период колебаний математического маятника в первом случае увеличится в $\sqrt{6}$ раз ($g_{л} = \frac{1}{6} g_{з}$) из-за изменения ускорения свободного падения, а во втором - уменьшится в $\sqrt{1 - \frac{ \rho}{ \rho_{т} }}$ раз ($\rho$ - плотность воды и $\rho_{т}$ - плотность материала шарика) из-за влияния архимедовой выталкивающей силы
