Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11692
2019-11-24 
Имеется равномерно заряженный отрезок АВ. Как направлена напряженность электрического поля, создаваемого этим отрезком в точке С: по медиане треугольника АВС? по его биссектрисе? по высоте? ни по одной из этих линий?
Решение:
Напряженность поля - вектор, а в нашей задаче имеются лишь четыре выделенных направления: по медиане, биссектрисе или высоте треугольника АВС и параллельно отрезку АВ. Вектор напряженности поля должен быть направлен по одному из этих направлений. Ясно, что он не может быть параллелен отрезку АВ: напряженность поля заряженного отрезка равна сумме напряженностей полей частей отрезка, а они все направлены к отрезку или от него (в зависимости от знака заряда отрезка).
Не подходит и высота треугольника АВС: например, если точка С находится в стороне от отрезка, на расстоянии, много большем длины отрезка, то ясно, что напряженность поля в точке должна быть направлена к отрезку АВ, а не по перпендикуляру к нему.
Итак, у нас остались медиана и биссектриса. Напряженность $\vec{E}$ поля отрезка равна сумме напряженностей полей его частей. Для того чтобы вектор $\vec{E}$ был направлен вдоль медианы, необходимо, чтобы отрезки равной длины $\Delta x$, находящиеся на равных расстояниях от середины отрезка, создавали одинаковое ноле в точке С.
Только в этом случае сумма векторов $\Delta \vec{E}$ будет направлена вдоль медианы треугольника АВС. Однако это невозможно: отрезки равной длины имеют одинаковый заряд $\Delta Q = \sigma \Delta x$ ($\sigma$ - линейная плотность заряда, то есть заряд единицы длины отрезка), а расстояния до точки С различны.
Значит, вектор $\vec{E}$ направлен вдоль биссектрисы треугольника АВС.
Убедимся в этом Найдем напряженность поля отрезка $\Delta x$ такого, что прямая, проведенная из него в точку С, образует угол $\alpha$ с высотой треугольника и $\Delta x \ll r$ (рис.). $\Delta E = \frac{ \Delta x \sigma}{r^{2} }$. Если отрезок $\Delta x$ виден из точки С под углом $\Delta \alpha$, то $\Delta x_{1} = r \Delta \alpha$ (угол $\alpha$ мал, так что $tg \frac{ \Delta \alpha}{2} = \frac{ \Delta \alpha}{2}$, а $\frac{ \Delta x_{1} }{2} = r tg \frac{ \Delta \alpha}{2}$) и $\Delta x = \frac{ \Delta x_{1} }{ \sin (90^{ \circ} - \alpha ) } = \frac{r \Delta \alpha}{ \cos \alpha}$. Поэтому $\Delta E = \frac{r \Delta \alpha \sigma}{r^{2} \cos \alpha } = \frac{ \Delta \alpha \sigma}{4 \cos \alpha}$. Но $r \cos \alpha = h$. Поэтому
$\Delta E = \frac{ \Delta \alpha \sigma}{h}$.
Напряженность поля отрезка, который виден из точки С под углом $\Delta \alpha$, не зависит от угла $\alpha$. Все отрезки, которые видны из точки С под одинаковым углом, создают в ней поле одинаковой величины. Но для любого отрезка $\Delta x$, находящегося слева от биссектрисы CD треугольника АВС, можно найти отрезок справа от нее такой, что он виден из точки С под тем же углом $\Delta \alpha$, что и отрезок $\Delta x$, и угол $\beta$, образуемый прямой, соединяющей его с точкой С, такой же, как и для отрезка $\Delta x$. Так как эти отрезки создают в точке С одинаковое поле, то вектор $\Delta \vec{E}$ суммы векторов $\Delta \vec{E}_{2}$ и $\Delta \vec{E}_{2}$ напряженностей полей отрезков направлен по диагонали ромба, построенного на векторах $\Delta \vec{E}_{1}$, и $\Delta \vec{E}_{2}$, то есть вдоль биссектрисы CD. Это верно для любого угла $\beta$, то есть для любой пары отрезков. Значит, и вектор напряженности поля отрезка АВ направлен вдоль биссектрисы, треугольника АВС.
Имеется равномерно заряженный отрезок АВ. Как направлена напряженность электрического поля, создаваемого этим отрезком в точке С: по медиане треугольника АВС? по его биссектрисе? по высоте? ни по одной из этих линий?
Решение:
Напряженность поля - вектор, а в нашей задаче имеются лишь четыре выделенных направления: по медиане, биссектрисе или высоте треугольника АВС и параллельно отрезку АВ. Вектор напряженности поля должен быть направлен по одному из этих направлений. Ясно, что он не может быть параллелен отрезку АВ: напряженность поля заряженного отрезка равна сумме напряженностей полей частей отрезка, а они все направлены к отрезку или от него (в зависимости от знака заряда отрезка).
Не подходит и высота треугольника АВС: например, если точка С находится в стороне от отрезка, на расстоянии, много большем длины отрезка, то ясно, что напряженность поля в точке должна быть направлена к отрезку АВ, а не по перпендикуляру к нему.
Итак, у нас остались медиана и биссектриса. Напряженность $\vec{E}$ поля отрезка равна сумме напряженностей полей его частей. Для того чтобы вектор $\vec{E}$ был направлен вдоль медианы, необходимо, чтобы отрезки равной длины $\Delta x$, находящиеся на равных расстояниях от середины отрезка, создавали одинаковое ноле в точке С.
Только в этом случае сумма векторов $\Delta \vec{E}$ будет направлена вдоль медианы треугольника АВС. Однако это невозможно: отрезки равной длины имеют одинаковый заряд $\Delta Q = \sigma \Delta x$ ($\sigma$ - линейная плотность заряда, то есть заряд единицы длины отрезка), а расстояния до точки С различны.
Значит, вектор $\vec{E}$ направлен вдоль биссектрисы треугольника АВС.
Убедимся в этом Найдем напряженность поля отрезка $\Delta x$ такого, что прямая, проведенная из него в точку С, образует угол $\alpha$ с высотой треугольника и $\Delta x \ll r$ (рис.). $\Delta E = \frac{ \Delta x \sigma}{r^{2} }$. Если отрезок $\Delta x$ виден из точки С под углом $\Delta \alpha$, то $\Delta x_{1} = r \Delta \alpha$ (угол $\alpha$ мал, так что $tg \frac{ \Delta \alpha}{2} = \frac{ \Delta \alpha}{2}$, а $\frac{ \Delta x_{1} }{2} = r tg \frac{ \Delta \alpha}{2}$) и $\Delta x = \frac{ \Delta x_{1} }{ \sin (90^{ \circ} - \alpha ) } = \frac{r \Delta \alpha}{ \cos \alpha}$. Поэтому $\Delta E = \frac{r \Delta \alpha \sigma}{r^{2} \cos \alpha } = \frac{ \Delta \alpha \sigma}{4 \cos \alpha}$. Но $r \cos \alpha = h$. Поэтому
$\Delta E = \frac{ \Delta \alpha \sigma}{h}$.
Напряженность поля отрезка, который виден из точки С под углом $\Delta \alpha$, не зависит от угла $\alpha$. Все отрезки, которые видны из точки С под одинаковым углом, создают в ней поле одинаковой величины. Но для любого отрезка $\Delta x$, находящегося слева от биссектрисы CD треугольника АВС, можно найти отрезок справа от нее такой, что он виден из точки С под тем же углом $\Delta \alpha$, что и отрезок $\Delta x$, и угол $\beta$, образуемый прямой, соединяющей его с точкой С, такой же, как и для отрезка $\Delta x$. Так как эти отрезки создают в точке С одинаковое поле, то вектор $\Delta \vec{E}$ суммы векторов $\Delta \vec{E}_{2}$ и $\Delta \vec{E}_{2}$ напряженностей полей отрезков направлен по диагонали ромба, построенного на векторах $\Delta \vec{E}_{1}$, и $\Delta \vec{E}_{2}$, то есть вдоль биссектрисы CD. Это верно для любого угла $\beta$, то есть для любой пары отрезков. Значит, и вектор напряженности поля отрезка АВ направлен вдоль биссектрисы, треугольника АВС.
