Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11683
2019-11-24 
Тонкая нерастяжимая веревка состоит из двух частей. Масса единицы длины одной из частей равна $\rho_{1}$, а другой - $\rho_{2}$. Веревка охватывает очень легкий обруч радиуса $R$ (масса которого пренебрежимо мала по сравнению с массой охватывающей его веревки), концы прикреплены к полу (рис.). По участку веревки с массой единицы длины равна $\rho_{1}$, обруч катится со скоростью $v_{1}$. С какой скоростью будет катиться обруч по второму участку веревки?
Решение:
При переходе обруча с одного участка зеревки на другой меняется потенциальная энергия веревки. Действительно, когда обруч движется по участку веревки с линейной плотностью $\rho_{1}$, потенциальная энергия веревочного кольца равна $m_{1}gR = \rho_{1} 2 \pi R gR = 2 \pi \rho R^{2}g$ (центр масс кольца находится в (то центре). Когда же обруч движется по участку веревки с линейной плотностью $\rho_{2}$, она равна $m_{2}gR = 2 \pi \rho_{2} R^{2}g$. Соответственно меняется и кинетическая энергия веревочного кольца. Так как нет потерь, то мы можем воспользоваться законом сохранения энергии.
Однако для этого нам нужно знать кинетическую энергию кольца массы $m$, движущегося без проскальзывания по плоскости со скоростью $v$. Можно воспользоваться результатом, полученным в статье Л. К Кикоина "Вращательное движение тел":
$K = \frac{mv^{2} }{2} + \frac{I \omega^{2} }{2} = \frac{mv^{2} }{2} + \frac{mR^{2} \omega^{2} }{2} = \frac{mv^{2} }{2} + \frac{mv^{2} }{2} = mv^{2}$.
Но мы получим эту формулу с помощью нехитрого приема.
Движущееся без проскальзывания кольцо в любой момент времени поворачивается вокруг мгновенного центра вращения - точки касания с плоскостью (рис.). Угловая скорость вращения кольца $\omega = \frac{v}{R}$. Это означает, что скорость точки А кольца пеопендикулярна к отрезку ОА и равна $OA \cdot \omega$. Из $\Delta OAD$ $OA = 2R \cos \alpha$. Поэтому $v_{A} = 2R \omega \cos \alpha = 2v \cos \alpha$. Аналогично, скорость точки В, диаметрально противоположной точке А, равна $v_{n} = 2v \cos (90^{ \circ} - \alpha) = 2v \sin \alpha$. Кинетическая энергия маленьких участков с массами $\Delta m$ вблизи точек А и В
$K_{A+B} = \frac{ \Delta m v_{A}^{2} }{2} + \frac{ \Delta m v_{B}^{2} }{2} = \frac{1}{2} \Delta m (4v^{2} \cos^{2} \alpha + 4v^{2} \sin^{2} \alpha ) = 2 \Delta m v^{2}$.
$K_{A + B}$ не зависит от $\alpha$. Это означает, что в точности такой же энергией обладает и любая другая пара диаметрально противоположных точек кольца. Поэтому кинетическая энергия всего кольца равна $mv^{2}$. Запишем теперь закон сохранения энергии:
$m_{1}v_{1}^{2} + m_{1}gR = m_{2}v_{2}^{2} + m_{2}gR$;
отсюда
$v_{2} = \sqrt{ \frac{m_{1} }{m_{2} } v_{1}^{2} + gR \left ( \frac{m_{1} }{m_{2} } - 1 \right ) } = \sqrt{ \frac{ \rho_{1} }{ \rho_{2} } v_{1}^{2} + gR \left ( \frac{ \rho_{1} }{ \rho_{2} } - 1 \right ) }$.
Посмотрим теперь, что мы получили. Если $\rho_{1} > \rho_{2}$, то $\frac{ \rho_{1} }{ \rho_{2} } - 1 > 0$ и под корнем стоит положительное число при любой величине $v_{1}$, даже при $v=0$. Ответ при $v_{1} = 0$ имеет такой смысл если обруч стоит так, как показано на рисунке, и по случайным причинам начнет двигаться вправо с беско вечно малой скоростью, то, когда с него смотается красная веревка и намотается синяя, он будет иметь скорость $v_{2} = \sqrt{gR \left ( \frac{ \rho_{1} }{ \rho_{2} } - 1 \right ) }$.
Если $\frac{ \rho_{1} }{ \rho_{2} } < 1$, то при $v_{1}^{2} < gR \left ( \frac{ \rho_{1} }{ \rho_{2} } - 1 \right )$ $\frac{ \rho_{2} }{ \rho_{1} }$ подкоренное выражение становится отрицательным. Это означает, что при такой скорости обруч не сможет перейти на веревку с линейной плотностью $\rho_{2}$. Он намотает часть более тяжелой веревки (рис.), остановится и начнет двигаться в обратном направлении.
Тонкая нерастяжимая веревка состоит из двух частей. Масса единицы длины одной из частей равна $\rho_{1}$, а другой - $\rho_{2}$. Веревка охватывает очень легкий обруч радиуса $R$ (масса которого пренебрежимо мала по сравнению с массой охватывающей его веревки), концы прикреплены к полу (рис.). По участку веревки с массой единицы длины равна $\rho_{1}$, обруч катится со скоростью $v_{1}$. С какой скоростью будет катиться обруч по второму участку веревки?
Решение:
При переходе обруча с одного участка зеревки на другой меняется потенциальная энергия веревки. Действительно, когда обруч движется по участку веревки с линейной плотностью $\rho_{1}$, потенциальная энергия веревочного кольца равна $m_{1}gR = \rho_{1} 2 \pi R gR = 2 \pi \rho R^{2}g$ (центр масс кольца находится в (то центре). Когда же обруч движется по участку веревки с линейной плотностью $\rho_{2}$, она равна $m_{2}gR = 2 \pi \rho_{2} R^{2}g$. Соответственно меняется и кинетическая энергия веревочного кольца. Так как нет потерь, то мы можем воспользоваться законом сохранения энергии.
Однако для этого нам нужно знать кинетическую энергию кольца массы $m$, движущегося без проскальзывания по плоскости со скоростью $v$. Можно воспользоваться результатом, полученным в статье Л. К Кикоина "Вращательное движение тел":
$K = \frac{mv^{2} }{2} + \frac{I \omega^{2} }{2} = \frac{mv^{2} }{2} + \frac{mR^{2} \omega^{2} }{2} = \frac{mv^{2} }{2} + \frac{mv^{2} }{2} = mv^{2}$.
Но мы получим эту формулу с помощью нехитрого приема.
Движущееся без проскальзывания кольцо в любой момент времени поворачивается вокруг мгновенного центра вращения - точки касания с плоскостью (рис.). Угловая скорость вращения кольца $\omega = \frac{v}{R}$. Это означает, что скорость точки А кольца пеопендикулярна к отрезку ОА и равна $OA \cdot \omega$. Из $\Delta OAD$ $OA = 2R \cos \alpha$. Поэтому $v_{A} = 2R \omega \cos \alpha = 2v \cos \alpha$. Аналогично, скорость точки В, диаметрально противоположной точке А, равна $v_{n} = 2v \cos (90^{ \circ} - \alpha) = 2v \sin \alpha$. Кинетическая энергия маленьких участков с массами $\Delta m$ вблизи точек А и В
$K_{A+B} = \frac{ \Delta m v_{A}^{2} }{2} + \frac{ \Delta m v_{B}^{2} }{2} = \frac{1}{2} \Delta m (4v^{2} \cos^{2} \alpha + 4v^{2} \sin^{2} \alpha ) = 2 \Delta m v^{2}$.
$K_{A + B}$ не зависит от $\alpha$. Это означает, что в точности такой же энергией обладает и любая другая пара диаметрально противоположных точек кольца. Поэтому кинетическая энергия всего кольца равна $mv^{2}$. Запишем теперь закон сохранения энергии:
$m_{1}v_{1}^{2} + m_{1}gR = m_{2}v_{2}^{2} + m_{2}gR$;
отсюда
$v_{2} = \sqrt{ \frac{m_{1} }{m_{2} } v_{1}^{2} + gR \left ( \frac{m_{1} }{m_{2} } - 1 \right ) } = \sqrt{ \frac{ \rho_{1} }{ \rho_{2} } v_{1}^{2} + gR \left ( \frac{ \rho_{1} }{ \rho_{2} } - 1 \right ) }$.
Посмотрим теперь, что мы получили. Если $\rho_{1} > \rho_{2}$, то $\frac{ \rho_{1} }{ \rho_{2} } - 1 > 0$ и под корнем стоит положительное число при любой величине $v_{1}$, даже при $v=0$. Ответ при $v_{1} = 0$ имеет такой смысл если обруч стоит так, как показано на рисунке, и по случайным причинам начнет двигаться вправо с беско вечно малой скоростью, то, когда с него смотается красная веревка и намотается синяя, он будет иметь скорость $v_{2} = \sqrt{gR \left ( \frac{ \rho_{1} }{ \rho_{2} } - 1 \right ) }$.
Если $\frac{ \rho_{1} }{ \rho_{2} } < 1$, то при $v_{1}^{2} < gR \left ( \frac{ \rho_{1} }{ \rho_{2} } - 1 \right )$ $\frac{ \rho_{2} }{ \rho_{1} }$ подкоренное выражение становится отрицательным. Это означает, что при такой скорости обруч не сможет перейти на веревку с линейной плотностью $\rho_{2}$. Он намотает часть более тяжелой веревки (рис.), остановится и начнет двигаться в обратном направлении.
