Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11674
2019-11-24 
В сосуде находятся две несмешивающиеся жидкости с удельными весами $d_{1}$ и $d_{2}$ и толщинами слоев $h_{1}$ и $h_{2}$ соответственно. С поверхности жидкости в сосуд опускают маленькое обтекаемое тело, которое достигает дна как раз в тот момент, когда его скорость становится равной нулю. Какова плотность материала, из которого сделано тело?
Решение:
Воспользуемся тем, что потенциальная энергия, которой обладает тело на поверхности верхней жидкости, тратится при движении тела на преодоление сопротивления. Поэтому
$mg(h_{1} + h_{2}) = A_{1} + A_{2}$, (*)
где $m$ - масса тела, $g$ - ускорение свободного падения, $A_{1}$ - работа сил сопротивления в верхней жидкости и $A_{2}$ - работа сил сопротивления при движении тела в нижней жидкости. Так как тело обтекаемо, сила сопротивления - это архимедова выталкивающая сила: $F_{1} = \rho_{1}Vg$ в верхней жидкости и $F_{2} = \rho_{2}Vg$ в нижней ($V$ - объем тела). Поэтому
$A_{1} = \rho_{1}Vgh_{1}$ и $A_{2} = \rho_{2}V gh_{2}$.
Подставляя эти выражения для $A_{1}$ и $A_{2}$ в уравнение (*) и учитывая что $m = V \rho$ ($\rho$ - плотность тела), получим $\rho (h_{1} + h_{2}) = \rho_{1}h_{1} + \rho_{2}h_{2}$.
Отсюда
$\rho = \frac{ \rho_{1}h_{1} + \rho_{2}h_{2} }{h_{1} + h_{2} }$.
Более сложный способ.
На тело, движущееся в жидкости, действуют две силы: сила тяжести, равная $mg = \rho Vg$, и архимедова выталкивающая сила (равная $F_{1} = \rho_{1}Vg$, когда тело движется в жидкости с плотностью $\rho_{1}$, и $F_{2} = \rho_{2} Vg$, когда оно движется в жидкости с плотностью $\rho_{2}$). Поскольку тело обтекаемо, силы, действующие на него во время движения в каждой из жидкостей, не меняются. Следовательно, тело движется равноускоренно. Запишем уравнения движения тела. В верхней жидкости: $mg - F_{1} = ma_{1}$ (ускорение направлено вниз), в нижней жидкости: $F_{2} - mg = ma_{2}$ (ускорение направлено вверх). Из этих уравнений найдем, что в жидкости с плотностью $\rho_{1}$ тело движется с ускорением $a_{1} = g \frac{ \rho - \rho_{1} }{ \rho}$, а в жидкости с плотностью $\rho_{2}$ - с ускорением $a_{2} = g \frac{ \rho_{2} - \rho }{ \rho}$.
Пройдя первую жидкость, тело приобретет скорость $V_{0} = a_{1}t_{1}$, где $t_{1}$ - время движения. Это время можно найти из кинематического уравнения $h_{1} = \frac{a_{1}t_{1}^{2} }{2}$. Поэтому $V_{0} = \sqrt{2a_{1}h_{1} }$. С такой скоростью тело начнет двигаться в нижней жидкости. Так как скорость тела в конце движения должна стать равной нулю, то $V_{0} - at_{2} = 0$, где $t_{2}$ - время движения тела во второй жидкости. Отсюда $t_{2} = \frac{V_{0} }{a_{1} }$. За это время тело пройдет во второй жидкости расстояние $h_{2}$. Поэтому $h_{2} = V_{0}t_{2} - \frac{a_{2}t_{2}^{2} }{2}$. Подставляя в последнее уравнение выражения для $V_{0}, a_{2}$ и $t_{2}$, получим
$h_{2} = \frac{V_{0}^{2} }{a_{2} } - \frac{1}{2} \frac{V_{0}^{2} }{a_{2} } = \frac{1}{2} \frac{V_{0}^{2} }{a_{2} } = \frac{a_{1}h_{1} }{a_{2} }$.
Отсюда
$\frac{h_{2} }{h_{1} } = \frac{a_{1} }{a_{2} } = \frac{ \rho - \rho_{1} }{ \rho_{2} - \rho }$.
Решая последнее уравнение, найдем
$\rho = \frac{ \rho_{1}h_{1} + \rho_{2}h_{2} }{h_{1} + h_{2} }$.
В сосуде находятся две несмешивающиеся жидкости с удельными весами $d_{1}$ и $d_{2}$ и толщинами слоев $h_{1}$ и $h_{2}$ соответственно. С поверхности жидкости в сосуд опускают маленькое обтекаемое тело, которое достигает дна как раз в тот момент, когда его скорость становится равной нулю. Какова плотность материала, из которого сделано тело?
Решение:
Воспользуемся тем, что потенциальная энергия, которой обладает тело на поверхности верхней жидкости, тратится при движении тела на преодоление сопротивления. Поэтому
$mg(h_{1} + h_{2}) = A_{1} + A_{2}$, (*)
где $m$ - масса тела, $g$ - ускорение свободного падения, $A_{1}$ - работа сил сопротивления в верхней жидкости и $A_{2}$ - работа сил сопротивления при движении тела в нижней жидкости. Так как тело обтекаемо, сила сопротивления - это архимедова выталкивающая сила: $F_{1} = \rho_{1}Vg$ в верхней жидкости и $F_{2} = \rho_{2}Vg$ в нижней ($V$ - объем тела). Поэтому
$A_{1} = \rho_{1}Vgh_{1}$ и $A_{2} = \rho_{2}V gh_{2}$.
Подставляя эти выражения для $A_{1}$ и $A_{2}$ в уравнение (*) и учитывая что $m = V \rho$ ($\rho$ - плотность тела), получим $\rho (h_{1} + h_{2}) = \rho_{1}h_{1} + \rho_{2}h_{2}$.
Отсюда
$\rho = \frac{ \rho_{1}h_{1} + \rho_{2}h_{2} }{h_{1} + h_{2} }$.
Более сложный способ.
На тело, движущееся в жидкости, действуют две силы: сила тяжести, равная $mg = \rho Vg$, и архимедова выталкивающая сила (равная $F_{1} = \rho_{1}Vg$, когда тело движется в жидкости с плотностью $\rho_{1}$, и $F_{2} = \rho_{2} Vg$, когда оно движется в жидкости с плотностью $\rho_{2}$). Поскольку тело обтекаемо, силы, действующие на него во время движения в каждой из жидкостей, не меняются. Следовательно, тело движется равноускоренно. Запишем уравнения движения тела. В верхней жидкости: $mg - F_{1} = ma_{1}$ (ускорение направлено вниз), в нижней жидкости: $F_{2} - mg = ma_{2}$ (ускорение направлено вверх). Из этих уравнений найдем, что в жидкости с плотностью $\rho_{1}$ тело движется с ускорением $a_{1} = g \frac{ \rho - \rho_{1} }{ \rho}$, а в жидкости с плотностью $\rho_{2}$ - с ускорением $a_{2} = g \frac{ \rho_{2} - \rho }{ \rho}$.
Пройдя первую жидкость, тело приобретет скорость $V_{0} = a_{1}t_{1}$, где $t_{1}$ - время движения. Это время можно найти из кинематического уравнения $h_{1} = \frac{a_{1}t_{1}^{2} }{2}$. Поэтому $V_{0} = \sqrt{2a_{1}h_{1} }$. С такой скоростью тело начнет двигаться в нижней жидкости. Так как скорость тела в конце движения должна стать равной нулю, то $V_{0} - at_{2} = 0$, где $t_{2}$ - время движения тела во второй жидкости. Отсюда $t_{2} = \frac{V_{0} }{a_{1} }$. За это время тело пройдет во второй жидкости расстояние $h_{2}$. Поэтому $h_{2} = V_{0}t_{2} - \frac{a_{2}t_{2}^{2} }{2}$. Подставляя в последнее уравнение выражения для $V_{0}, a_{2}$ и $t_{2}$, получим
$h_{2} = \frac{V_{0}^{2} }{a_{2} } - \frac{1}{2} \frac{V_{0}^{2} }{a_{2} } = \frac{1}{2} \frac{V_{0}^{2} }{a_{2} } = \frac{a_{1}h_{1} }{a_{2} }$.
Отсюда
$\frac{h_{2} }{h_{1} } = \frac{a_{1} }{a_{2} } = \frac{ \rho - \rho_{1} }{ \rho_{2} - \rho }$.
Решая последнее уравнение, найдем
$\rho = \frac{ \rho_{1}h_{1} + \rho_{2}h_{2} }{h_{1} + h_{2} }$.
