Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11661
2019-11-24 
В двух вертикально расположенных цилиндрах, площади сечения которых $S_{1}$ и $S_{2}$, находятся два невесомых поршня, соединенных тонкой невесомой нитью длины $l$ (рис.). Пространство между поршнями заполнено водой. Найти натяжение нити, если концы сосудов открыты в атмосферу. Плотность воды $\rho$.
Решение:
Если давление жидкости на большой поршень (с площадью $S_{1}$) равно $p$, а атмосферное давление $p_{0}$, то на поршень действует вверх сила давления $F_{1} = S_{1}p$, а вниз - сила $T$ натяжения нити и сила атмосферного давления $F_{1}^{ \prime} = p_{0} S_{1}$. Так как поршень находится в равновесии, то
$S_{1}p = S_{1}p_{0} + T$.
Аналогичное уравнение можно составить и для нижнего поршня вверх на него действуют сила натяжения нити $T$ и сила атмосферного давления $F_{2}^{ \prime} = p_{0}S_{2}$, а вниз сила давления воды $F_{1} = p^{ \prime}S_{2}$. Причем давление $p^{ \prime}$ воды на нижний поршень на величину $\rho gl$ больше, чем на верхний. Так как поршень находится в равновесии, то
$T + p_{0}S_{2} = (p + \rho gl )S_{2}$.
Решая оба уравнения совместно, найдем
$T = \rho gl \frac{S_{1}S_{2} }{S_{1} - S_{2} }$.
Обычно мы проверяем ответ, исследуя его при предельных значениях параметров. Будем считать, что $S_{2} \rightarrow S_{1}$. В этом случае $T \rightarrow \infty$. Это и понятно. Вся система сохраняет равновесие благодаря давлению воды на кольцо с площадью $S_{1} - S_{2}$ на верхнем поршне. Если $S_{1} \rightarrow S_{2}$, то давление на это кольцо должно стремиться к бесконечности. При этом к бесконечности должна стремиться и сила натяжения нити.
При $S_{1} = S_{2}$ мы получим, что $T$ бесконечно. Однако это уже неверно. Подобный предельный переход невозможен. Решая задачу, мы исходили из того, что система находится в равновесии. Однако при $S_{1} = S_{2}$ равновесие невозможно и система поршней будет падать равноускоренно с ускорением свободного падения $g$. Натяжение нити в этом случае должно быть равно нулю. Этот пример показывает, как осторожно нужно относиться к предельным переходам в физике. Нужно следить за тем, чтобы при этом явление не стало совсем иным.
Интересное решение методом виртуальных перемещений.
Пусть нить уменьшилась на $\Delta l$, причем верхний поршень переместился на $\Delta l_{1}$, а нижний - на $\Delta l_{2}$. Так как при этом объем воды между поршнями не изменился, то оба поршня должны сместиться в одну и ту же сторону (опуститься), причем так, что
$\Delta l_{1} S_{1} = \Delta l_{2}S_{2}$ и $\Delta l_{2} - \Delta l_{1} = \Delta l$ ($\Delta l_{2} > \Delta l_{1}$).
Решая эти уравнения совместно, найдем
$\Delta l_{1} = \Delta l \frac{S_{2}}{S_{1} - S_{2} }$ и $\Delta l_{2} = \Delta l \frac{S_{1} }{S_{1} - S_{2} }$.
Изменение потенциальной энергии системы при перемещении объема веды $\rho S_{1} \Delta l_{1}$ (или $\rho S_{2} \Delta l_{2}$) на $l$ должно быть равно работе силы натяжения нити. Поэтому мы можем записать, что
$T \Delta l = \rho gl( \Delta l_{1}S_{1}) = \rho gl( \Delta l_{2}S_{2})$.
Отсюда
$T = \rho gl \frac{ S_{2}S_{1} }{S_{1} - S_{2} }$.
В двух вертикально расположенных цилиндрах, площади сечения которых $S_{1}$ и $S_{2}$, находятся два невесомых поршня, соединенных тонкой невесомой нитью длины $l$ (рис.). Пространство между поршнями заполнено водой. Найти натяжение нити, если концы сосудов открыты в атмосферу. Плотность воды $\rho$.
Решение:
Если давление жидкости на большой поршень (с площадью $S_{1}$) равно $p$, а атмосферное давление $p_{0}$, то на поршень действует вверх сила давления $F_{1} = S_{1}p$, а вниз - сила $T$ натяжения нити и сила атмосферного давления $F_{1}^{ \prime} = p_{0} S_{1}$. Так как поршень находится в равновесии, то
$S_{1}p = S_{1}p_{0} + T$.
Аналогичное уравнение можно составить и для нижнего поршня вверх на него действуют сила натяжения нити $T$ и сила атмосферного давления $F_{2}^{ \prime} = p_{0}S_{2}$, а вниз сила давления воды $F_{1} = p^{ \prime}S_{2}$. Причем давление $p^{ \prime}$ воды на нижний поршень на величину $\rho gl$ больше, чем на верхний. Так как поршень находится в равновесии, то
$T + p_{0}S_{2} = (p + \rho gl )S_{2}$.
Решая оба уравнения совместно, найдем
$T = \rho gl \frac{S_{1}S_{2} }{S_{1} - S_{2} }$.
Обычно мы проверяем ответ, исследуя его при предельных значениях параметров. Будем считать, что $S_{2} \rightarrow S_{1}$. В этом случае $T \rightarrow \infty$. Это и понятно. Вся система сохраняет равновесие благодаря давлению воды на кольцо с площадью $S_{1} - S_{2}$ на верхнем поршне. Если $S_{1} \rightarrow S_{2}$, то давление на это кольцо должно стремиться к бесконечности. При этом к бесконечности должна стремиться и сила натяжения нити.
При $S_{1} = S_{2}$ мы получим, что $T$ бесконечно. Однако это уже неверно. Подобный предельный переход невозможен. Решая задачу, мы исходили из того, что система находится в равновесии. Однако при $S_{1} = S_{2}$ равновесие невозможно и система поршней будет падать равноускоренно с ускорением свободного падения $g$. Натяжение нити в этом случае должно быть равно нулю. Этот пример показывает, как осторожно нужно относиться к предельным переходам в физике. Нужно следить за тем, чтобы при этом явление не стало совсем иным.
Интересное решение методом виртуальных перемещений.
Пусть нить уменьшилась на $\Delta l$, причем верхний поршень переместился на $\Delta l_{1}$, а нижний - на $\Delta l_{2}$. Так как при этом объем воды между поршнями не изменился, то оба поршня должны сместиться в одну и ту же сторону (опуститься), причем так, что
$\Delta l_{1} S_{1} = \Delta l_{2}S_{2}$ и $\Delta l_{2} - \Delta l_{1} = \Delta l$ ($\Delta l_{2} > \Delta l_{1}$).
Решая эти уравнения совместно, найдем
$\Delta l_{1} = \Delta l \frac{S_{2}}{S_{1} - S_{2} }$ и $\Delta l_{2} = \Delta l \frac{S_{1} }{S_{1} - S_{2} }$.
Изменение потенциальной энергии системы при перемещении объема веды $\rho S_{1} \Delta l_{1}$ (или $\rho S_{2} \Delta l_{2}$) на $l$ должно быть равно работе силы натяжения нити. Поэтому мы можем записать, что
$T \Delta l = \rho gl( \Delta l_{1}S_{1}) = \rho gl( \Delta l_{2}S_{2})$.
Отсюда
$T = \rho gl \frac{ S_{2}S_{1} }{S_{1} - S_{2} }$.
