Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1166
2016-10-20 
После тёплых дней резко ударил мороз, и поверхность озера покрылась льдом. Через сутки после похолодания толщина льда составила $d_{1} = 3 см$. Строителям требуется переправить груз на противоположный берег озера, но для безопасности требуется лёд толщиной не менее $d_{2} = 10 см$. Через сколько дней после установления морозов можно осуществить перевозку груза, если погода не изменится, а меры по искусственному ускорению процесса наращивания льда не предпринимаются?
Решение:
Лёд на поверхности озера образуется из-за оттока тепла от воды через толщу льда. Процесс этот достаточно медленный, поэтому будем считать, что внутри льда в любой момент времени существует стационарное — линейное — распределение температуры по толщине. Кроме того, будем пренебрегать малым количеством тепла, выделяющимся за счёт постепенного охлаждения нарастающего слоя льда, по сравнению с теплотой кристаллизации воды. Пусть в некоторый момент времени $t$ слой льда имеет толщину $x$. Тогда количество теплоты $\Delta Q$, проходящее за малый промежуток времени $\Delta t$ через ледяной цилиндр с площадью основания $S$, равно
$\Delta Q = \eta \frac{ \Delta T}{x} S \Delta t$,
где $\Delta T$ — постоянная разность температур между водой и воздухом, $\eta$ — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплопроводности.
Эта теплота отнимается от небольшого слоя воды, непосредственно примыкающего ко льду и превращающегося при замерзании в слой льда толщиной $\Delta x$:
$\Delta Q = \lambda \Delta m = \lambda \rho S \Delta x$,
где $\rho$ — плотность льда, $\lambda$ — удельная теплота замерзания воды. Приравнивая записанные выражения, получим, что
$x \Delta x = \Delta \left ( \frac{x^{2}}{2} \right ) = \frac{T_{0} \eta}{ \lambda \rho} \Delta t$,
откуда
$x = \sqrt{ \frac{ 2T_{0} \eta}{ \lambda \rho} t}$,
то есть толщина слоя льда увеличивается пропорционально корню квадратному из времени, прошедшего с момента, когда мороз «ударил».
Следовательно, если за время $\tau_{1} = 1 сутки$ на озере нарос слой льда толщиной $d_{1} = 3 см$, то слой толщиной $d_{2} = 10 см$ нарастёт за время
$\tau_{2} = \tau_{1} \left ( \frac{d_{2}}{d_{1}} \right )^{2} \approx 11 суток$.
Заметим, что наращивание слоя льда можно осуществить гораздо быстрее, если насверлить в нём лунки и с помощью насосов поливать водой из озера поверхность льда, находящуюся при низкой температуре. Именно так во время блокады Ленинграда строили «дорогу жизни» на Ладожском озере.
После тёплых дней резко ударил мороз, и поверхность озера покрылась льдом. Через сутки после похолодания толщина льда составила $d_{1} = 3 см$. Строителям требуется переправить груз на противоположный берег озера, но для безопасности требуется лёд толщиной не менее $d_{2} = 10 см$. Через сколько дней после установления морозов можно осуществить перевозку груза, если погода не изменится, а меры по искусственному ускорению процесса наращивания льда не предпринимаются?
Решение:
Лёд на поверхности озера образуется из-за оттока тепла от воды через толщу льда. Процесс этот достаточно медленный, поэтому будем считать, что внутри льда в любой момент времени существует стационарное — линейное — распределение температуры по толщине. Кроме того, будем пренебрегать малым количеством тепла, выделяющимся за счёт постепенного охлаждения нарастающего слоя льда, по сравнению с теплотой кристаллизации воды. Пусть в некоторый момент времени $t$ слой льда имеет толщину $x$. Тогда количество теплоты $\Delta Q$, проходящее за малый промежуток времени $\Delta t$ через ледяной цилиндр с площадью основания $S$, равно
$\Delta Q = \eta \frac{ \Delta T}{x} S \Delta t$,
где $\Delta T$ — постоянная разность температур между водой и воздухом, $\eta$ — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплопроводности.
Эта теплота отнимается от небольшого слоя воды, непосредственно примыкающего ко льду и превращающегося при замерзании в слой льда толщиной $\Delta x$:
$\Delta Q = \lambda \Delta m = \lambda \rho S \Delta x$,
где $\rho$ — плотность льда, $\lambda$ — удельная теплота замерзания воды. Приравнивая записанные выражения, получим, что
$x \Delta x = \Delta \left ( \frac{x^{2}}{2} \right ) = \frac{T_{0} \eta}{ \lambda \rho} \Delta t$,
откуда
$x = \sqrt{ \frac{ 2T_{0} \eta}{ \lambda \rho} t}$,
то есть толщина слоя льда увеличивается пропорционально корню квадратному из времени, прошедшего с момента, когда мороз «ударил».
Следовательно, если за время $\tau_{1} = 1 сутки$ на озере нарос слой льда толщиной $d_{1} = 3 см$, то слой толщиной $d_{2} = 10 см$ нарастёт за время
$\tau_{2} = \tau_{1} \left ( \frac{d_{2}}{d_{1}} \right )^{2} \approx 11 суток$.
Заметим, что наращивание слоя льда можно осуществить гораздо быстрее, если насверлить в нём лунки и с помощью насосов поливать водой из озера поверхность льда, находящуюся при низкой температуре. Именно так во время блокады Ленинграда строили «дорогу жизни» на Ладожском озере.
