Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11654
2019-11-24 
Найти скорость испарения с единицы поверхности воды вакуум при температуре $20^{ \circ} С$. (Давление насыщенных паров при этой температуре равно 17,5 мм рт. ст.)
За какое время испарится в комнате вода, налитая доверху в обычное Чайное блюдце? Испарение небольшого количества воды практически не меняет в комнате влажность воздуха, равную 70%.
Решение:
Для того чтобы решить задачу, нужно найти количество молекул жидкости, покидающих $1 см^{2}$ ее поверхности за 1 сек. Умножив его на массу молекулы воды, мы сможем узнать скорость испарения, то есть массу воды, испаряющуюся с единицы поверхности воды за 1 сек.
Будем рассуждать так. Если бы над жидкостью был насыщенный пар, то число молекул жидкости, покидающих ее в 1 сек, было бы таким же, как и в отсутствие пара. При этом, однако, в жидкость попадало бы ровно столько же молекул, сколько вылетало из нее. Это позволяет нам подсчитать, сколько молекул вылетает из воды в 1 сек, так как найти число молекул, попадающих в жидкость, довольно просто.
Воспользуемся следующей моделью идеального газа: все молекулы газа имеют одинаковые скорости $v$, и каждая из молекул может двигаться только в одном из трех взаимно перпендикулярных направлений вдоль осей координат (рис.). Причем число молекул, движущихся в каждом из этих трех направлений, одинаково если одна из осей координат перпендикулярна жидкости, то зa время $\tau$ в жидкость попадут те молекулы пара, которые находится от нее на расстоянии $l = v \tau$. Пусть в единице объема находится $n$ молекул пара, тогда на участок поверхности с площадью $S$ попадает $N = \frac{1}{6} n v \tau S$ молекул пара: вдоль оси координат, перпендикулярной поверхности жидкости, движется часть молекул пара, находящихся в объеме $v \tau S$, причем скорость половины из них направлена от жидкости. Если масса молекулы пара $m$, то за время $\tau$ в жидкость попадает масса пара $M = \frac{1}{6 } n v \tau Sm$, $n \cdot m$ - это плотность пара $\rho$. Поэтому
$M = \frac{1}{6} v \tau S \rho$. (*)
Скорость молекул пара можно выразить через его давление и плотность. Рассмотрим кубический сосуд с ребром $l$ и гранями, перпендикулярными осям координат (рис.). При упругом столкновении молекулы пара со стенкой ее количестве движения меняется на $2mv$ - до столкновение импульс молекулы равен - $mv$, а после столкновения - $mv$: молекула движется от стенки. Так как между двумя последовательными столкновениями молекулы с одной и той же стенкой проходит время $t = \frac{2l}{v}$, то в соответствии
со вторым законом Ньютона можно считать, что на молекулу со стороны стенки действует средняя сила $f = \frac{2mv}{ \frac{2l}{v} } = \frac{mv^{2} }{l}$. По третьему закону Ньютона сила такой же величины действует на стенку. Так как вдоль каждой из осей движется $N = \frac{1}{3} nl^{3}$ молекул, каждая из которых вносит вклад в давление на стенку, то полная сила, действующая на стенку, разна
$F = \frac{mv^{2} }{l} \frac{1}{3} nl^{3} = \frac{1}{3} nml^{2}v^{2}$,
а давление пара на стенку равно
$P = \frac{F}{l^{2}} \frac{1}{3} nmv^{2} = \frac{1}{3} \rho v^{2}$.
Поэтому $v = \sqrt{ \frac{3P}{ \rho} }$.
Подставляя это выражение для $v$ в формулу (*), получим
$M = \frac{1}{6} \tau S \rho \sqrt{ \frac{3P}{ \rho} }$.
Выразим еще плотность пара через его давление. Они связаны уравнением Клапейрона:
$P = \frac{ \rho}{ \mu} RT$,
где $\mu$ - масса одной грамм молекулы пара, $T$ - его температура, a $R = 8,3 \frac{дж}{град \cdot моль}$ - газовая постоянная.
Из этой формулы найдем, что $\rho = \frac{P \mu}{RT}$. Поэтому $M = \frac{1}{6} \tau S \frac{P \mu}{RT} \sqrt{ \frac{3RT}{ \mu} }$. Таким образом, если над жидкостью находится насыщенный пар, то на единицу ее поверхности за 1 сек попадает масса пара, равная
$\frac{M}{ \tau S} = \frac{1}{6} P \sqrt{ \frac{3 \mu}{RT} }$.
Это означает, чго скорость испарения жидкости в вакуум равна
$\frac{1}{6} P \sqrt{ \frac{3 \mu}{RT} }$.
Подставив сюда численные значения $T = 293^{ \circ} К, \mu = 18 \frac{кг}{кмоль}$ и $P = 2,3 \cdot 10^{3} \frac{н}{м^{2} }$ ($P$ - давление насыщенного пара при $T = 293^{ \circ} К$), получим, что скорость испарения равна $14,8 \cdot 10^{-8} \frac{кг}{м^{2} \cdot сек}$.
Мы могли бы решить задачу и более точно, учитывая, что молекулы движутся с разными скоростями и во всевозможных направлениях. Это, однако, не изменило бы качественный результат, который мы получили. Изменился бы лишь численный множитель в последней формуле.
Теперь нетрудно найти и время, за которое испарится в комнате вода, налитая в чайное блюдце. В этом случае с единицы поверхности жидкости за 1 сек вылетают молекулы с общей массой, равной $\frac{1}{6} P_{0} \sqrt{ \frac{3 \mu}{RT} }$ ($P_{0} = 10^{-5} \frac{н}{м^{2} }$), а в жидкость попадает масса пара, равная $\frac{1}{6}P \sqrt{ \frac{3 \mu}{RT} }$, где $P = \eta P_{0} = 0,7P_{0}$. Таким образом, скорость испарения жидкости равна
$\frac{1}{6} (P_{0} - P) \sqrt{ \frac{3 \mu}{RT} }$>
Если площадь поверхности воды $S$, а ее масса $M$, то вся вода испарится за время
$t = \frac{M}{ \frac{1}{6} S(P_{0} - P) \sqrt{ \frac{3 \mu}{RT} } }$
Принимая, что в блюдце входит 100 г воды, ею диаметр равен 10 см, температура воздуха в комнате равна $17^{ \circ} С = 290^{ \circ} К$ (при этой температуре $P_{0} = 2,3 \cdot 10^{3} \frac{н}{м^{2} }$ и $P = 1,6 \cdot 10^{3} \frac{н}{м^{2} }$), найдем $t = 1 сек$.
Получился парадоксальный результат В чем же мы ошиблась? В величине давления пара вблизи поверхности воды. Здесь давление пара значительно больше, чем в комнате. В тонком слое у поверхности пар почти насыщен. Только благодаря этому вода испаряется достаточно медленно.
Пример, который мы рассмотрели, показывает, как важно при решении физической задачи разобраться в физике явления, то есть понять, чем можно и чем нельзя пренебречь.
Найти скорость испарения с единицы поверхности воды вакуум при температуре $20^{ \circ} С$. (Давление насыщенных паров при этой температуре равно 17,5 мм рт. ст.)
За какое время испарится в комнате вода, налитая доверху в обычное Чайное блюдце? Испарение небольшого количества воды практически не меняет в комнате влажность воздуха, равную 70%.
Решение:
Для того чтобы решить задачу, нужно найти количество молекул жидкости, покидающих $1 см^{2}$ ее поверхности за 1 сек. Умножив его на массу молекулы воды, мы сможем узнать скорость испарения, то есть массу воды, испаряющуюся с единицы поверхности воды за 1 сек.
Будем рассуждать так. Если бы над жидкостью был насыщенный пар, то число молекул жидкости, покидающих ее в 1 сек, было бы таким же, как и в отсутствие пара. При этом, однако, в жидкость попадало бы ровно столько же молекул, сколько вылетало из нее. Это позволяет нам подсчитать, сколько молекул вылетает из воды в 1 сек, так как найти число молекул, попадающих в жидкость, довольно просто.
Воспользуемся следующей моделью идеального газа: все молекулы газа имеют одинаковые скорости $v$, и каждая из молекул может двигаться только в одном из трех взаимно перпендикулярных направлений вдоль осей координат (рис.). Причем число молекул, движущихся в каждом из этих трех направлений, одинаково если одна из осей координат перпендикулярна жидкости, то зa время $\tau$ в жидкость попадут те молекулы пара, которые находится от нее на расстоянии $l = v \tau$. Пусть в единице объема находится $n$ молекул пара, тогда на участок поверхности с площадью $S$ попадает $N = \frac{1}{6} n v \tau S$ молекул пара: вдоль оси координат, перпендикулярной поверхности жидкости, движется часть молекул пара, находящихся в объеме $v \tau S$, причем скорость половины из них направлена от жидкости. Если масса молекулы пара $m$, то за время $\tau$ в жидкость попадает масса пара $M = \frac{1}{6 } n v \tau Sm$, $n \cdot m$ - это плотность пара $\rho$. Поэтому
$M = \frac{1}{6} v \tau S \rho$. (*)
Скорость молекул пара можно выразить через его давление и плотность. Рассмотрим кубический сосуд с ребром $l$ и гранями, перпендикулярными осям координат (рис.). При упругом столкновении молекулы пара со стенкой ее количестве движения меняется на $2mv$ - до столкновение импульс молекулы равен - $mv$, а после столкновения - $mv$: молекула движется от стенки. Так как между двумя последовательными столкновениями молекулы с одной и той же стенкой проходит время $t = \frac{2l}{v}$, то в соответствии
со вторым законом Ньютона можно считать, что на молекулу со стороны стенки действует средняя сила $f = \frac{2mv}{ \frac{2l}{v} } = \frac{mv^{2} }{l}$. По третьему закону Ньютона сила такой же величины действует на стенку. Так как вдоль каждой из осей движется $N = \frac{1}{3} nl^{3}$ молекул, каждая из которых вносит вклад в давление на стенку, то полная сила, действующая на стенку, разна
$F = \frac{mv^{2} }{l} \frac{1}{3} nl^{3} = \frac{1}{3} nml^{2}v^{2}$,
а давление пара на стенку равно
$P = \frac{F}{l^{2}} \frac{1}{3} nmv^{2} = \frac{1}{3} \rho v^{2}$.
Поэтому $v = \sqrt{ \frac{3P}{ \rho} }$.
Подставляя это выражение для $v$ в формулу (*), получим
$M = \frac{1}{6} \tau S \rho \sqrt{ \frac{3P}{ \rho} }$.
Выразим еще плотность пара через его давление. Они связаны уравнением Клапейрона:
$P = \frac{ \rho}{ \mu} RT$,
где $\mu$ - масса одной грамм молекулы пара, $T$ - его температура, a $R = 8,3 \frac{дж}{град \cdot моль}$ - газовая постоянная.
Из этой формулы найдем, что $\rho = \frac{P \mu}{RT}$. Поэтому $M = \frac{1}{6} \tau S \frac{P \mu}{RT} \sqrt{ \frac{3RT}{ \mu} }$. Таким образом, если над жидкостью находится насыщенный пар, то на единицу ее поверхности за 1 сек попадает масса пара, равная
$\frac{M}{ \tau S} = \frac{1}{6} P \sqrt{ \frac{3 \mu}{RT} }$.
Это означает, чго скорость испарения жидкости в вакуум равна
$\frac{1}{6} P \sqrt{ \frac{3 \mu}{RT} }$.
Подставив сюда численные значения $T = 293^{ \circ} К, \mu = 18 \frac{кг}{кмоль}$ и $P = 2,3 \cdot 10^{3} \frac{н}{м^{2} }$ ($P$ - давление насыщенного пара при $T = 293^{ \circ} К$), получим, что скорость испарения равна $14,8 \cdot 10^{-8} \frac{кг}{м^{2} \cdot сек}$.
Мы могли бы решить задачу и более точно, учитывая, что молекулы движутся с разными скоростями и во всевозможных направлениях. Это, однако, не изменило бы качественный результат, который мы получили. Изменился бы лишь численный множитель в последней формуле.
Теперь нетрудно найти и время, за которое испарится в комнате вода, налитая в чайное блюдце. В этом случае с единицы поверхности жидкости за 1 сек вылетают молекулы с общей массой, равной $\frac{1}{6} P_{0} \sqrt{ \frac{3 \mu}{RT} }$ ($P_{0} = 10^{-5} \frac{н}{м^{2} }$), а в жидкость попадает масса пара, равная $\frac{1}{6}P \sqrt{ \frac{3 \mu}{RT} }$, где $P = \eta P_{0} = 0,7P_{0}$. Таким образом, скорость испарения жидкости равна
$\frac{1}{6} (P_{0} - P) \sqrt{ \frac{3 \mu}{RT} }$>
Если площадь поверхности воды $S$, а ее масса $M$, то вся вода испарится за время
$t = \frac{M}{ \frac{1}{6} S(P_{0} - P) \sqrt{ \frac{3 \mu}{RT} } }$
Принимая, что в блюдце входит 100 г воды, ею диаметр равен 10 см, температура воздуха в комнате равна $17^{ \circ} С = 290^{ \circ} К$ (при этой температуре $P_{0} = 2,3 \cdot 10^{3} \frac{н}{м^{2} }$ и $P = 1,6 \cdot 10^{3} \frac{н}{м^{2} }$), найдем $t = 1 сек$.
Получился парадоксальный результат В чем же мы ошиблась? В величине давления пара вблизи поверхности воды. Здесь давление пара значительно больше, чем в комнате. В тонком слое у поверхности пар почти насыщен. Только благодаря этому вода испаряется достаточно медленно.
Пример, который мы рассмотрели, показывает, как важно при решении физической задачи разобраться в физике явления, то есть понять, чем можно и чем нельзя пренебречь.
