Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1165
2016-10-20 
На поверхность термостата одновременно ставят рядом два однородных куба, сделанных из одинакового материала и находящихся при одинаковой температуре $T_{0}$, отличной от температуры термостата $T_{1}$. Длина ребра у одного из кубов в два раза больше, чем у другого. Через время $t$ температура в центре малого куба стала равной $T_{2}$. Через какое время (от начального момента) такая же температура будет в центре большого куба? Потерями тепла пренебречь.
Решение:
В кубах разного размера изменение температуры со временем будет происходить подобным образом, но с различной скоростью. Пусть $a$ — длина ребра куба, а $x < a$ — расстояние от поверхности термостата. Тогда функция, описывающая зависимость температуры $T$ от координаты $x$ и времени $t$ в малом и большом кубах, будет одинакова, если в качестве её аргументов взять отношения $x/a$ и $t/ \tau$, где $tau$ — некоторое характерное время прогревания данного куба. Очевидно, что это характерное время обратно пропорционально скорости нарастания температуры в соответствующих точках кубов.
Разобьём малый и большой кубы на одинаковое количество маленьких кубиков. При этом если длина ребра у маленького кубика, на которые разбит малый куб, равна $\Delta x$, то у кубика в большом кубе длина ребра будет равна $2 \Delta x$. Рассмотрим процесс нагревания маленьких кубиков, занимающих подобные положения внутри малого и большого кубов, то есть находящихся на расстояниях, соответственно, $x/a$ и $x/(2a)$ от граней, касающихся термостата, в те (разные!) моменты времени, когда их температуры одинаковы. Одинаковыми будут при этом и разности температур $\Delta T$ между соответствующими гранями кубиков. Количество тепла $\Delta Q$, распространяющееся через кубик за счёт теплопроводности и частично остающееся в кубике, пропорционально площади грани кубика ($\Delta x^{2}$ или $2 \Delta x^{2}$), величине промежутка времени $\Delta t$ и отношению $\Delta T$ к «толщине» кубика ($\Delta x$ или $2 \Delta x$). Это тепло идёт на нагревание кубика, масса
которого пропорциональна его объёму ($\Delta x^{3}$ или $8 \Delta x^{3}$), то есть на увеличение его температуры на величину $\delta T$:
$\Delta Q \sim \Delta x^{2} \cdot \Delta t \cdot \frac{ \Delta T}{ \Delta x} \sim \Delta x^{3} \cdot \delta T$
(уравнение записано для маленького кубика). Отсюда следует, что скорость изменения температуры $\delta T/ \Delta t \sim \Delta x^{-2}$, то есть в большом кубике с размером ребра $2 \Delta x$ она будет в 4 раза меньше, чем в маленьком, а характерное время прогревания большого куба (а с ним и время достижения температуры $T_{2}$ в центре куба) будет в 4 раза больше, чем у малого куба.
На поверхность термостата одновременно ставят рядом два однородных куба, сделанных из одинакового материала и находящихся при одинаковой температуре $T_{0}$, отличной от температуры термостата $T_{1}$. Длина ребра у одного из кубов в два раза больше, чем у другого. Через время $t$ температура в центре малого куба стала равной $T_{2}$. Через какое время (от начального момента) такая же температура будет в центре большого куба? Потерями тепла пренебречь.
Решение:
В кубах разного размера изменение температуры со временем будет происходить подобным образом, но с различной скоростью. Пусть $a$ — длина ребра куба, а $x < a$ — расстояние от поверхности термостата. Тогда функция, описывающая зависимость температуры $T$ от координаты $x$ и времени $t$ в малом и большом кубах, будет одинакова, если в качестве её аргументов взять отношения $x/a$ и $t/ \tau$, где $tau$ — некоторое характерное время прогревания данного куба. Очевидно, что это характерное время обратно пропорционально скорости нарастания температуры в соответствующих точках кубов.
Разобьём малый и большой кубы на одинаковое количество маленьких кубиков. При этом если длина ребра у маленького кубика, на которые разбит малый куб, равна $\Delta x$, то у кубика в большом кубе длина ребра будет равна $2 \Delta x$. Рассмотрим процесс нагревания маленьких кубиков, занимающих подобные положения внутри малого и большого кубов, то есть находящихся на расстояниях, соответственно, $x/a$ и $x/(2a)$ от граней, касающихся термостата, в те (разные!) моменты времени, когда их температуры одинаковы. Одинаковыми будут при этом и разности температур $\Delta T$ между соответствующими гранями кубиков. Количество тепла $\Delta Q$, распространяющееся через кубик за счёт теплопроводности и частично остающееся в кубике, пропорционально площади грани кубика ($\Delta x^{2}$ или $2 \Delta x^{2}$), величине промежутка времени $\Delta t$ и отношению $\Delta T$ к «толщине» кубика ($\Delta x$ или $2 \Delta x$). Это тепло идёт на нагревание кубика, масса
которого пропорциональна его объёму ($\Delta x^{3}$ или $8 \Delta x^{3}$), то есть на увеличение его температуры на величину $\delta T$:
$\Delta Q \sim \Delta x^{2} \cdot \Delta t \cdot \frac{ \Delta T}{ \Delta x} \sim \Delta x^{3} \cdot \delta T$
(уравнение записано для маленького кубика). Отсюда следует, что скорость изменения температуры $\delta T/ \Delta t \sim \Delta x^{-2}$, то есть в большом кубике с размером ребра $2 \Delta x$ она будет в 4 раза меньше, чем в маленьком, а характерное время прогревания большого куба (а с ним и время достижения температуры $T_{2}$ в центре куба) будет в 4 раза больше, чем у малого куба.
