Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11644
2019-11-24 
Космический корабль движется к Луне под влиянием ее притяжения. На большом расстоянии скорость корабля относительно Луны была нулевой. Ускорение силы тяжести на поверхности Луны в $n = 6$ раз меньше, чем на Земле $\left ( g_{л} = \frac{g}{6} \right )$. Радиус Луны $R$ около 1700 км На какой высоте $h$ должен быть включен тормозной двигатель для осуществлении мягкой посадки, если считать, что двигатель создает пятикратную перегрузку ($5g$)? Изменением массы корабля при торможении за счет сгорания топлива и зависимостью силы притяжения Луны от расстояния на этапе торможения можно пренебречь ($h$ много меньше $R$).
Решение:
Запишем закон сохранения энергии для этапа подлета корабля к Луне. Из аналогии гравитационного поля с электростатическим, можно заключить, что если потенциальную энергию тела считать равной нулю бесконечно далеко от Луны, то на расстоянии $H$ от ее центра потенциальная энергия равна - $\gamma \frac{mM}{H}$, где $\gamma$ - гравитационная постоянная, $M$ - масса Луны и $m$ - масса тела. Если потенциальную энергию отсчитывать от поверхности Луны, то $\Pi = \gamma \frac{Mm}{R} - \gamma \frac{Mm}{H}$.
Далеко от Луны корабль имел только потенциальную энергию $G \frac{Mm}{R}$, а на высоте $h$ от поверхности Луны, он имел кинетическую энергию $\frac{mv^{2} }{2}$ и потенциальную энергию $\Pi = \gamma \frac{Mm}{R} - \gamma \frac{Mm}{R + h}$.
Поэтому $\gamma \frac{Mm}{R} = \frac{mv^{2}}{2} + \gamma \frac{Mm}{R} - \gamma \frac{Mm}{R + h}$.
Учитывая, что на поверхности Луны $\gamma \frac{mM}{R^{2}} = mg_{л}$ и потому $\gamma M = R^{2}g_{л} = \frac{1}{6}R^{2}g$, мы можем записать, что
$\frac{v^{2} }{2} = \frac{1}{6}g \frac{R^{2} }{R + h}$. (1)
Изменение энергии корабля при торможении равно работе двигателя. Так как при работе двигателя создается пятикратная перегрузка, то его сила тяги должна быть равна $5mg$. Поэтому
$5mgh = \frac{mv^{2} }{2} + mg_{л}h = \frac{mv^{2} }{2} + \frac{1}{6}mgh$
(так как $h \ll R$, то $\Pi = \gamma \frac{Mm}{R} - \gamma \frac{Mm}{R + h} = \gamma \frac{Mmh}{(R + h)R} \approx \gamma \frac{Mm}{R^{2} } h = mg_{л}h$).
Отсюда $\frac{v^{2} }{2} = \frac{29}{6}gh$.
Подставляя это выражение для $\frac{v^{2} }{2}$ в уравнение (1), найдем $h \approx \frac{R}{29} \approx 29 км$.
Космический корабль движется к Луне под влиянием ее притяжения. На большом расстоянии скорость корабля относительно Луны была нулевой. Ускорение силы тяжести на поверхности Луны в $n = 6$ раз меньше, чем на Земле $\left ( g_{л} = \frac{g}{6} \right )$. Радиус Луны $R$ около 1700 км На какой высоте $h$ должен быть включен тормозной двигатель для осуществлении мягкой посадки, если считать, что двигатель создает пятикратную перегрузку ($5g$)? Изменением массы корабля при торможении за счет сгорания топлива и зависимостью силы притяжения Луны от расстояния на этапе торможения можно пренебречь ($h$ много меньше $R$).
Решение:
Запишем закон сохранения энергии для этапа подлета корабля к Луне. Из аналогии гравитационного поля с электростатическим, можно заключить, что если потенциальную энергию тела считать равной нулю бесконечно далеко от Луны, то на расстоянии $H$ от ее центра потенциальная энергия равна - $\gamma \frac{mM}{H}$, где $\gamma$ - гравитационная постоянная, $M$ - масса Луны и $m$ - масса тела. Если потенциальную энергию отсчитывать от поверхности Луны, то $\Pi = \gamma \frac{Mm}{R} - \gamma \frac{Mm}{H}$.
Далеко от Луны корабль имел только потенциальную энергию $G \frac{Mm}{R}$, а на высоте $h$ от поверхности Луны, он имел кинетическую энергию $\frac{mv^{2} }{2}$ и потенциальную энергию $\Pi = \gamma \frac{Mm}{R} - \gamma \frac{Mm}{R + h}$.
Поэтому $\gamma \frac{Mm}{R} = \frac{mv^{2}}{2} + \gamma \frac{Mm}{R} - \gamma \frac{Mm}{R + h}$.
Учитывая, что на поверхности Луны $\gamma \frac{mM}{R^{2}} = mg_{л}$ и потому $\gamma M = R^{2}g_{л} = \frac{1}{6}R^{2}g$, мы можем записать, что
$\frac{v^{2} }{2} = \frac{1}{6}g \frac{R^{2} }{R + h}$. (1)
Изменение энергии корабля при торможении равно работе двигателя. Так как при работе двигателя создается пятикратная перегрузка, то его сила тяги должна быть равна $5mg$. Поэтому
$5mgh = \frac{mv^{2} }{2} + mg_{л}h = \frac{mv^{2} }{2} + \frac{1}{6}mgh$
(так как $h \ll R$, то $\Pi = \gamma \frac{Mm}{R} - \gamma \frac{Mm}{R + h} = \gamma \frac{Mmh}{(R + h)R} \approx \gamma \frac{Mm}{R^{2} } h = mg_{л}h$).
Отсюда $\frac{v^{2} }{2} = \frac{29}{6}gh$.
Подставляя это выражение для $\frac{v^{2} }{2}$ в уравнение (1), найдем $h \approx \frac{R}{29} \approx 29 км$.
