Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11634
2019-11-22 
Подставку, на которой лежит тело, подвешенное на пружине, начинают опускать с ускорением $a$. В начальный момент пружина не растянута. Через какое время тело оторвется от подставки? До какой максимальной длины растянется пружина?
Масса тела $M$, жесткость пружины $k$.
Решение:
Рассмотрим вначале случай $a < g$. Запишем уравнение движения тела:
$Ma = Mg - N - T$.
$Mg$ - действующая на тело сила тяжести, $N$ - сила реакции подставки, и $T$ - сила натяжения пружины. Считая, что пружина подчиняется закону Гука, мы можем записать, что $T = kx$, где $x$ - растяжение пружины. Подставив выражение для $T$ в уравнение движения и учитывая, что в тот момент, когда тело отрывается от подставки, сила реакции подставки становится равный нулю, получим уравнение
$Ma = Mg - kx$.
Из этого уравнения найдем, что тело отрывается от подставки после того, как подставка и тело пройдут расстояние
$x = \frac{M(g - a)}{k}$.
С другой стороны, так как подставка и тело вначале двигались равноускоренно с ускорением $a$, то мы можем записать, что
$x = \frac{at^{2} }{2}$.
($t$ - время с момента начала движения подставки до того момента, когда тело отрывается от нее). Это означает, что
$\frac{at^{2} }{2} = \frac{M(g - a)}{k}$.
Отсюда
$t = \sqrt{ 2 \frac{M}{k} \frac{g - a}{a} }$.
Найдем теперь максимальное растяжение пружины $x_{0}$.
Воспользуемся для этого законом сохранения энергии. Конечно, нам нельзя приравнять потенциальную энергию тела в тот момент, когда пружина не была растянута, и потенциальную энергию пружины в тот момент, когда пружина максимально растянута: кроме силы тяжести и силы натяжения пружины на тел и действовала еще и сила реакции подставки. Работа, совершенная этой силой, очевидно, не равна нулю. Зато после того, как тело оторвалось от подставки, мы можем считать, что полная энергия тела и пружины не меняется.
Запишем выражение для энергии пружинь, и груза в тот момент, когда груз оторвался от подставки. В этот момент груз имел скорость $V = at = a \sqrt{2 \frac{M(g - a)}{ka} }$, кинетическую энергию $\frac{MV^{2} }{2} = \frac{M^{2}(g - a)a }{k}$ и потенциальную энергию $Mg (x_{0} - x) = Mgx_{0} - \frac{M^{2}(g - a)g }{k}$ (мы считаем, что потенциальная энергия груза равна нулю, когда пружина максимально растянута). Так как в этот момент пружина была растянута на длину $x = \frac{M(g - 1)}{k}$, то потенциальная энергия деформации пружины равна $\frac{kx^{2} }{2} = \frac{M^{2}(g - a)^{2} }{2k}$. Складывая энергию тела и пружины, найдем, что их полная энергия равна
$W_{1} = \frac{ M^{2} (g - a)a}{g} + Mgx_{0} - \frac{M^{2}(g - a)g }{k} + \frac{M^{2}(g - a)^{2} }{2k} = Mgx_{0} + \frac{M^{2}(g - a)^{2} }{2k}$.
В тот момент, когда пружина максимально растянута, скорость груза, а значит, и его кинетическая энергия равны нулю. Поэтому энергия груза и пружины будет равна
$W_{2} = \frac{kx_{0}^{2} }{2}$.
Записав, что $W_{1} = W_{2}$, получим уравнение
$\frac{kx_{0}^{2} }{2} - Mgx_{0} + \frac{M^{2}(g - a)^{2} }{2k} = 0$.
Решая его, находим
$x_{0} = \frac{Mg}{k} \pm \frac{M \sqrt{a(2g - a)} }{k}$.
Максимальное растяжение пружины должно быть больше ее растяжения при равновесии тела, когда действующая на тело сила тяжести $Mg$ уравновешена силой натяжения пружины $T = kx_{1}$: при прохождении положения равновесия тело будет иметь некоторую скорость, так что обязательно проскочит его. Поэтому, так как $x_{1} = \frac{Mg}{k}$ и $x_{0} > x_{1}$, то
$x_{0} = \frac{Mg}{k} + \frac{M \sqrt{a(2g - a)} }{k}$.
Имеет ли физический смысл второе значение $x_{0}$? Да, но оно дает не максимальное, а минимальное растяжение пружины при колебании тела. Если мы считаем, что потенциальная энергия тела равна нулю, когда пружина растянута на величину $x_{0}$, то при минимальном растяжении пружины, записав закон сохранения энергии, мы получили бы такое же уравнение, как и при максимальном.
Нетрудно определить амплитуду колебании тела. Она равна разности значений корней уравнения для $x_{0}$, то есть $\frac{2M \sqrt{a(2g - a)} }{k}$.
Если $a \geq g$, то тело оторвется от подставки, как только подставка начнет двигаться. Записав закон сохранения энергии, найдем, что в этом случае максимальное растяжение пружины равно $\frac{2Mg}{k}$.
Подставку, на которой лежит тело, подвешенное на пружине, начинают опускать с ускорением $a$. В начальный момент пружина не растянута. Через какое время тело оторвется от подставки? До какой максимальной длины растянется пружина?
Масса тела $M$, жесткость пружины $k$.
Решение:
Рассмотрим вначале случай $a < g$. Запишем уравнение движения тела:
$Ma = Mg - N - T$.
$Mg$ - действующая на тело сила тяжести, $N$ - сила реакции подставки, и $T$ - сила натяжения пружины. Считая, что пружина подчиняется закону Гука, мы можем записать, что $T = kx$, где $x$ - растяжение пружины. Подставив выражение для $T$ в уравнение движения и учитывая, что в тот момент, когда тело отрывается от подставки, сила реакции подставки становится равный нулю, получим уравнение
$Ma = Mg - kx$.
Из этого уравнения найдем, что тело отрывается от подставки после того, как подставка и тело пройдут расстояние
$x = \frac{M(g - a)}{k}$.
С другой стороны, так как подставка и тело вначале двигались равноускоренно с ускорением $a$, то мы можем записать, что
$x = \frac{at^{2} }{2}$.
($t$ - время с момента начала движения подставки до того момента, когда тело отрывается от нее). Это означает, что
$\frac{at^{2} }{2} = \frac{M(g - a)}{k}$.
Отсюда
$t = \sqrt{ 2 \frac{M}{k} \frac{g - a}{a} }$.
Найдем теперь максимальное растяжение пружины $x_{0}$.
Воспользуемся для этого законом сохранения энергии. Конечно, нам нельзя приравнять потенциальную энергию тела в тот момент, когда пружина не была растянута, и потенциальную энергию пружины в тот момент, когда пружина максимально растянута: кроме силы тяжести и силы натяжения пружины на тел и действовала еще и сила реакции подставки. Работа, совершенная этой силой, очевидно, не равна нулю. Зато после того, как тело оторвалось от подставки, мы можем считать, что полная энергия тела и пружины не меняется.
Запишем выражение для энергии пружинь, и груза в тот момент, когда груз оторвался от подставки. В этот момент груз имел скорость $V = at = a \sqrt{2 \frac{M(g - a)}{ka} }$, кинетическую энергию $\frac{MV^{2} }{2} = \frac{M^{2}(g - a)a }{k}$ и потенциальную энергию $Mg (x_{0} - x) = Mgx_{0} - \frac{M^{2}(g - a)g }{k}$ (мы считаем, что потенциальная энергия груза равна нулю, когда пружина максимально растянута). Так как в этот момент пружина была растянута на длину $x = \frac{M(g - 1)}{k}$, то потенциальная энергия деформации пружины равна $\frac{kx^{2} }{2} = \frac{M^{2}(g - a)^{2} }{2k}$. Складывая энергию тела и пружины, найдем, что их полная энергия равна
$W_{1} = \frac{ M^{2} (g - a)a}{g} + Mgx_{0} - \frac{M^{2}(g - a)g }{k} + \frac{M^{2}(g - a)^{2} }{2k} = Mgx_{0} + \frac{M^{2}(g - a)^{2} }{2k}$.
В тот момент, когда пружина максимально растянута, скорость груза, а значит, и его кинетическая энергия равны нулю. Поэтому энергия груза и пружины будет равна
$W_{2} = \frac{kx_{0}^{2} }{2}$.
Записав, что $W_{1} = W_{2}$, получим уравнение
$\frac{kx_{0}^{2} }{2} - Mgx_{0} + \frac{M^{2}(g - a)^{2} }{2k} = 0$.
Решая его, находим
$x_{0} = \frac{Mg}{k} \pm \frac{M \sqrt{a(2g - a)} }{k}$.
Максимальное растяжение пружины должно быть больше ее растяжения при равновесии тела, когда действующая на тело сила тяжести $Mg$ уравновешена силой натяжения пружины $T = kx_{1}$: при прохождении положения равновесия тело будет иметь некоторую скорость, так что обязательно проскочит его. Поэтому, так как $x_{1} = \frac{Mg}{k}$ и $x_{0} > x_{1}$, то
$x_{0} = \frac{Mg}{k} + \frac{M \sqrt{a(2g - a)} }{k}$.
Имеет ли физический смысл второе значение $x_{0}$? Да, но оно дает не максимальное, а минимальное растяжение пружины при колебании тела. Если мы считаем, что потенциальная энергия тела равна нулю, когда пружина растянута на величину $x_{0}$, то при минимальном растяжении пружины, записав закон сохранения энергии, мы получили бы такое же уравнение, как и при максимальном.
Нетрудно определить амплитуду колебании тела. Она равна разности значений корней уравнения для $x_{0}$, то есть $\frac{2M \sqrt{a(2g - a)} }{k}$.
Если $a \geq g$, то тело оторвется от подставки, как только подставка начнет двигаться. Записав закон сохранения энергии, найдем, что в этом случае максимальное растяжение пружины равно $\frac{2Mg}{k}$.
