Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11631
2019-11-22 
Оси якорей двух одинаковых электродвигателей постоянного тока жестко соединены друг с другом. Если к обмоткам якорей подключены одинаковые источники с э. д. с. $E$, то угловая скорость вращения якорей без нагрузки равна $\omega_{0}$; если двигатели затормозить так, чтобы они не вращались, то через обмотки якорей идет ток $I_{0}$. Один из источников тока переключили так, чтобы вращающие моменты якорей были противоположны. Какой внешний момент нужно приложит к оси якорей для того, чтобы они вращались о заданной угловой скоростью $\omega$? Трение в двигателях пренебрежимо мало; магнитное поле статора создается постоянным магнитом.
Решение:
При полностью заторможенном якоре пи его обмотке идет ток $I_{0} = \frac{E}{R}$. Это означает, что сопротивление обмотки якоря $R = \frac{E}{I_{0} }$.
При вращении якоря электродвигателя в его обмотке возникает э. д. с. индукции $E_{и}$, пропорциональная угловой скорости вращения якоря;
$E_{и} = k \omega$ ($k$ - коэффициент пропорциональности).
Запишем для электродвигателя закон сохранения энергии:
$EIt = I^{2}Rt + Nt$.
Или, сократив на время $t$ работы двигателя, получим
$EI = I^{2}R + N$;
здесь $N$ - мощность, потребляемая электродвигателем от сети, $I^{2}R$ - тепловые лагери в обмотке якоря, $N$ - мощность, отдаваемая нагрузке, $R$ - сопротивление обмотки якоря и $I$ - ток в обмотке.
Из этого уравнения следует, что при отсутствии нагрузки ($N = 0$) ток через обмотку якоря равен нулю. Но по закону Ома ток, идущий через обмотку, должен быть равен
$I = \frac{E - E_{и} }{R}$. Это означает, что в отсутствие нагрузки э. д. с. индукции, возникающая в обмотке якоря, равна э. д, с. источника: $E = E_{и}$.
После переключения одного из источников в обмотках якорей будет возбуждаться э. д. с. $E_{и}^{ \prime} = k \omega = E_{и} \frac{ \omega }{ \omega_{0} } = E \frac{ \omega}{ \omega_{0} }$. При этом по обмоткам будут идти токи
$I_{1} = \frac{E - E_{и}^{ \prime} }{R} = \frac{ E - E \frac{ \omega }{ \omega_{0} } }{ \frac{E}{I_{0} } } = I_{0} \left ( 1 - \frac{ \omega}{ \omega_{0} } \right ), I_{2} = \frac{E + E_{и}^{ \prime} }{R} = I_{0} \left ( 1 + \frac{ \omega}{ \omega_{0} } \right )$.
Причем как работа источников, так и работа внешней силы будут идти на нагревание обмоток. Поэтому $EI_{1} + EI_{2} + N^{ \prime} = I_{1}^{2} R + I_{2}^{2}R$.
Так как $N^{ \prime} = Fv = F r \omega = M \omega$ ($F$ - приложенная к якорю внешняя сила, $M$ - ее момент относительно оси и $v = \omega r$ - угловая скорость точек на поверхности оси якорей), то, заменив $N^{ \prime}, I_{1}, I_{2}$ и $R$ их выражениями через $M, \omega, \omega_{0}$ и $E$, получим
$M \omega + EI_{0} \left [ \left (1 + \frac{ \omega}{ \omega_{0} } \right ) + \left ( 1 - \frac{ \omega }{ \omega_{0} } \right ) \right ] = I_{0}^{2} \frac{E}{I_{0} } \left [ \left ( 1 + \frac{ \omega}{ \omega_{0} } \right )^{2} + \left ( 1 - \frac{ \omega}{ \omega_{0} } \right )^{2} \right ]$,
откуда $M \omega + 2EI_{0} = EI_{0} \left [ 2 + 2 \left ( \frac{ \omega}{ \omega_{0} } \right )^{2} \right ]$ и $M = \frac{2EI_{0} \omega }{ \omega_{0}^{2} }$.
Оси якорей двух одинаковых электродвигателей постоянного тока жестко соединены друг с другом. Если к обмоткам якорей подключены одинаковые источники с э. д. с. $E$, то угловая скорость вращения якорей без нагрузки равна $\omega_{0}$; если двигатели затормозить так, чтобы они не вращались, то через обмотки якорей идет ток $I_{0}$. Один из источников тока переключили так, чтобы вращающие моменты якорей были противоположны. Какой внешний момент нужно приложит к оси якорей для того, чтобы они вращались о заданной угловой скоростью $\omega$? Трение в двигателях пренебрежимо мало; магнитное поле статора создается постоянным магнитом.
Решение:
При полностью заторможенном якоре пи его обмотке идет ток $I_{0} = \frac{E}{R}$. Это означает, что сопротивление обмотки якоря $R = \frac{E}{I_{0} }$.
При вращении якоря электродвигателя в его обмотке возникает э. д. с. индукции $E_{и}$, пропорциональная угловой скорости вращения якоря;
$E_{и} = k \omega$ ($k$ - коэффициент пропорциональности).
Запишем для электродвигателя закон сохранения энергии:
$EIt = I^{2}Rt + Nt$.
Или, сократив на время $t$ работы двигателя, получим
$EI = I^{2}R + N$;
здесь $N$ - мощность, потребляемая электродвигателем от сети, $I^{2}R$ - тепловые лагери в обмотке якоря, $N$ - мощность, отдаваемая нагрузке, $R$ - сопротивление обмотки якоря и $I$ - ток в обмотке.
Из этого уравнения следует, что при отсутствии нагрузки ($N = 0$) ток через обмотку якоря равен нулю. Но по закону Ома ток, идущий через обмотку, должен быть равен
$I = \frac{E - E_{и} }{R}$. Это означает, что в отсутствие нагрузки э. д. с. индукции, возникающая в обмотке якоря, равна э. д, с. источника: $E = E_{и}$.
После переключения одного из источников в обмотках якорей будет возбуждаться э. д. с. $E_{и}^{ \prime} = k \omega = E_{и} \frac{ \omega }{ \omega_{0} } = E \frac{ \omega}{ \omega_{0} }$. При этом по обмоткам будут идти токи
$I_{1} = \frac{E - E_{и}^{ \prime} }{R} = \frac{ E - E \frac{ \omega }{ \omega_{0} } }{ \frac{E}{I_{0} } } = I_{0} \left ( 1 - \frac{ \omega}{ \omega_{0} } \right ), I_{2} = \frac{E + E_{и}^{ \prime} }{R} = I_{0} \left ( 1 + \frac{ \omega}{ \omega_{0} } \right )$.
Причем как работа источников, так и работа внешней силы будут идти на нагревание обмоток. Поэтому $EI_{1} + EI_{2} + N^{ \prime} = I_{1}^{2} R + I_{2}^{2}R$.
Так как $N^{ \prime} = Fv = F r \omega = M \omega$ ($F$ - приложенная к якорю внешняя сила, $M$ - ее момент относительно оси и $v = \omega r$ - угловая скорость точек на поверхности оси якорей), то, заменив $N^{ \prime}, I_{1}, I_{2}$ и $R$ их выражениями через $M, \omega, \omega_{0}$ и $E$, получим
$M \omega + EI_{0} \left [ \left (1 + \frac{ \omega}{ \omega_{0} } \right ) + \left ( 1 - \frac{ \omega }{ \omega_{0} } \right ) \right ] = I_{0}^{2} \frac{E}{I_{0} } \left [ \left ( 1 + \frac{ \omega}{ \omega_{0} } \right )^{2} + \left ( 1 - \frac{ \omega}{ \omega_{0} } \right )^{2} \right ]$,
откуда $M \omega + 2EI_{0} = EI_{0} \left [ 2 + 2 \left ( \frac{ \omega}{ \omega_{0} } \right )^{2} \right ]$ и $M = \frac{2EI_{0} \omega }{ \omega_{0}^{2} }$.
