Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11630
2019-11-22 
Параллельно оси цилиндра радиуси $R$ на расстоянии $\frac{R}{2}$ от его центра просверлено круглое отверстие. Радиус отверстия равен $\frac{R}{2}$. Цилиндр лежит на дощечке, которую медленно поднимают за один конец (рис.). Найти предельный угол наклона дощечки, при котором цилиндр еще будет находиться в равновесии. Коэффициент трения цилиндра о дощечку равхн 0,2.
Решение:
Найдем сначала положение центра тяжест и цилиндра с отверстием. Ясно, что он должен лежать на прямой проходящей через центры цилиндра и отверстия. Центр тяжести целого цилиндра лежит на его оси, а центр тяжести и цилиндра, заполняющего отверстие, - на оси отверстия. Рассматривая целый цилиндр как два тела - цилиндр с отверстием и «вставка», заполняющая отверстие, и обозначив через $x$ расстояние от оси цилиндра до центра тяжести цилиндра с отверстием (рис.), мы можем записать, что
$x \left ( Mg - Mg \frac{ \pi \left ( \frac{R}{2} \right )^{2} }{ \pi R^{2}} \right ) = \frac{R}{2} Mg \frac{ \pi \left ( \frac{R}{2} \right )^{2} }{ \pi R^{2} }$
($M$ - масса целого цилиндра, $M \frac{ \pi \left ( \frac{R}{2} \right )^{2} }{ \pi R^{2} }$ - масса вставки). Отсюда $\frac{3}{4}x = \frac{1}{8}R$, то есть центр тяжести цилиндра с отверстием находится на расстоянии $\frac{R}{6}$ от его оси.
Если дощечку медленно поднимать за один из концов, цилиндр будет поворачиваться, занимая устойчивое положение, при котором его центр тяжести будет находиться на вертикали, проходящей через точку касания цилиндра с дощечкой. При этом положения, которые может занимать центр тяжести цилиндра, лежат на окружности радиуса $\frac{R}{6}$ с центром на оси цилиндра. Очевидно, что устойчивое положение невозможно, и цилиндр начнет скатываться без проскальзывания, если вертикаль, проходящая через точку касания цилиндра с дощечкой, не пересекается с этой окружностью (рис.). В этом случае момент силы тяжести относительно точки касания цилиндра с дощечкой не может быть равен нулю ни при каком положении цилиндра. Такнм образом, угол, при котором цилиндр начнет скатываться, равен $\alpha_{1} = arcsin \frac{ \frac{R}{6} }{R} = arcsin \frac{1}{6}$. Но нам еще нужно проверить, не начнется ли скольжение цилиндра по дощечке при меньшем угле. Скольжение наступит, когда составляющая силы тяжести вдоль дощечки станет равной максимальному значению силы трения: $M_{1}g \sin \alpha_{2} = kM_{1}g \cos \alpha_{2}$ ($M_{1}$ - масса цилиндра с отверстием), откуда
$\alpha_{2} = arctg k = arctg \frac{1}{5} = arcsin \frac{ \frac{1}{5} }{ \sqrt{1 + \left ( \frac{1}{5} \right )^{2} } } = arcsin \frac{1}{ \sqrt{26} }$.
Так как $\alpha_{1} < \alpha_{2}$, то качение цилиндра начнется раньше скольжения и цилиндр потеряет устойчивость при угле наклона дощечки
$\alpha = \alpha_{1} = arcsin \frac{1}{6}$.
Параллельно оси цилиндра радиуси $R$ на расстоянии $\frac{R}{2}$ от его центра просверлено круглое отверстие. Радиус отверстия равен $\frac{R}{2}$. Цилиндр лежит на дощечке, которую медленно поднимают за один конец (рис.). Найти предельный угол наклона дощечки, при котором цилиндр еще будет находиться в равновесии. Коэффициент трения цилиндра о дощечку равхн 0,2.
Решение:
Найдем сначала положение центра тяжест и цилиндра с отверстием. Ясно, что он должен лежать на прямой проходящей через центры цилиндра и отверстия. Центр тяжести целого цилиндра лежит на его оси, а центр тяжести и цилиндра, заполняющего отверстие, - на оси отверстия. Рассматривая целый цилиндр как два тела - цилиндр с отверстием и «вставка», заполняющая отверстие, и обозначив через $x$ расстояние от оси цилиндра до центра тяжести цилиндра с отверстием (рис.), мы можем записать, что
$x \left ( Mg - Mg \frac{ \pi \left ( \frac{R}{2} \right )^{2} }{ \pi R^{2}} \right ) = \frac{R}{2} Mg \frac{ \pi \left ( \frac{R}{2} \right )^{2} }{ \pi R^{2} }$
($M$ - масса целого цилиндра, $M \frac{ \pi \left ( \frac{R}{2} \right )^{2} }{ \pi R^{2} }$ - масса вставки). Отсюда $\frac{3}{4}x = \frac{1}{8}R$, то есть центр тяжести цилиндра с отверстием находится на расстоянии $\frac{R}{6}$ от его оси.
Если дощечку медленно поднимать за один из концов, цилиндр будет поворачиваться, занимая устойчивое положение, при котором его центр тяжести будет находиться на вертикали, проходящей через точку касания цилиндра с дощечкой. При этом положения, которые может занимать центр тяжести цилиндра, лежат на окружности радиуса $\frac{R}{6}$ с центром на оси цилиндра. Очевидно, что устойчивое положение невозможно, и цилиндр начнет скатываться без проскальзывания, если вертикаль, проходящая через точку касания цилиндра с дощечкой, не пересекается с этой окружностью (рис.). В этом случае момент силы тяжести относительно точки касания цилиндра с дощечкой не может быть равен нулю ни при каком положении цилиндра. Такнм образом, угол, при котором цилиндр начнет скатываться, равен $\alpha_{1} = arcsin \frac{ \frac{R}{6} }{R} = arcsin \frac{1}{6}$. Но нам еще нужно проверить, не начнется ли скольжение цилиндра по дощечке при меньшем угле. Скольжение наступит, когда составляющая силы тяжести вдоль дощечки станет равной максимальному значению силы трения: $M_{1}g \sin \alpha_{2} = kM_{1}g \cos \alpha_{2}$ ($M_{1}$ - масса цилиндра с отверстием), откуда
$\alpha_{2} = arctg k = arctg \frac{1}{5} = arcsin \frac{ \frac{1}{5} }{ \sqrt{1 + \left ( \frac{1}{5} \right )^{2} } } = arcsin \frac{1}{ \sqrt{26} }$.
Так как $\alpha_{1} < \alpha_{2}$, то качение цилиндра начнется раньше скольжения и цилиндр потеряет устойчивость при угле наклона дощечки
$\alpha = \alpha_{1} = arcsin \frac{1}{6}$.
