Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1163
2016-10-20 
Холодильник поддерживает в морозильной камере постоянную температуру $T_{0} = —12^{ \circ} C$. Кастрюля с водой охлаждается в этой камере от температуры $T_{1} = +29^{ \circ} C$ до $T_{2} = +25^{ \circ} C$ за $t_{1} = 6 мин$, а от $T_{3} = +2^{ \circ} C$ до $T_{4} = 0^{ \circ} C$ — за $t_{2} = 9 мин$. За сколько времени вода в кастрюле замёрзнет (при $0^{ \circ} C$)? Теплоёмкостью кастрюли пренебречь. Удельная теплоёмкость воды $C = 4200 Дж/(кг \cdot ^{ \circ} C)$, удельная теплота плавления льда $\lambda = 340 кДж/кг$.
Решение:
Оценку времени замерзания можно получить следующим образом. Будем предполагать, что количество теплоты $q$, отдаваемое в единицу времени морозильнику, одинаково для процесса остывания от $T_{3} = +2^{ \circ} С$ до $T_{4} = 0^{ \circ} С$ и для процесса замерзания воды при $0^{ \circ} С$. Обозначая через $M$ массу воды, получаем:
$qt_{2} = CM(T_{3} - T_{4})$.
Время замерзания воды $t_{3}$ определим из соотношения
$qt_{3} = \lambda M$.
Из записанных уравнений находим:
$t_{3} = \frac{ \lambda M}{q} = \frac{ \Lambda t_{2}}{C(T_{3}-T_{4})} = \frac{340 \frac{кДж}{кг} \cdot 9 мин}{ 4200 \frac{Дж}{кг \cdot ^{ \circ}С} \cdot 2^{ \circ С}} \approx 360 мин = 6 часов$.
Более точную оценку времени замерзания можно получить, если исследовать зависимость скорости теплоотдачи от разности температур. При охлаждении от температуры
$T_{1} = + 29^{ \circ} С$ до $T_{2} = + 25^{ \circ} С$ скорость теплоотдачи в расчёте на единицу массы
$\frac{q_{1}}{M} = \frac{C(T_{1}-T_{2})}{t_{1}} = \frac{4200 Дж/( кг \cdot ^{ \circ }С) \cdot 4 ^{ \circ} С}{6 мин} = 2800 \frac{Дж}{кг \cdot мин}$,
а при охлаждении от $T_{3} = + 2^{ \circ} С$ до $T_{4} = 0^{ \circ} С$
$\frac{q_{2}}{M} = \frac{C(T_{3}-T_{4})}{t_{2}} = \frac{4200 Дж/( кг \cdot ^{ \circ }С) \cdot 2 ^{ \circ} С}{9 мин} = \frac{2800}{3} \frac{Дж}{кг \cdot мин}$,
то есть в 3 раза меньше. Это связано с тем, что в первом случае разность средней температуры воды и температуры в морозильной камере равна $\frac{T_{1}+T_{2}}{3} - T_{0} = 39^{ \circ} С$, а во втором случае эта разность равна $\frac{T_{3}+T_{4}}{2} - T_{0} = 13^{ \circ} С$, то есть также в 3 раза меньше. Таким образом, скорость теплоотдачи пропорциональна разности температур кастрюли с водой и морозильной камеры. В процессе замерзания воды эта разность будет в
$\frac{ \frac{T_{3}+T_{4}}{2} - T_{0}}{T_{4}-T_{0}} = \frac{13}{12}$
раз меньше, чем при охлаждении воды от $T_{3} = + 2^{ \circ} С$ до $T_{4} = 0^{ \circ} С$. Поэтому время замерзания будет во столько же раз больше:
$t_{3} = \frac{ \lambda t_{2}}{C(T_{3} -T_{4})(T_{4}-T_{0})} \left ( \frac{T_{3}+T_{4}}{2} - T_{0} \right ) \approx 6,5 час$.
Холодильник поддерживает в морозильной камере постоянную температуру $T_{0} = —12^{ \circ} C$. Кастрюля с водой охлаждается в этой камере от температуры $T_{1} = +29^{ \circ} C$ до $T_{2} = +25^{ \circ} C$ за $t_{1} = 6 мин$, а от $T_{3} = +2^{ \circ} C$ до $T_{4} = 0^{ \circ} C$ — за $t_{2} = 9 мин$. За сколько времени вода в кастрюле замёрзнет (при $0^{ \circ} C$)? Теплоёмкостью кастрюли пренебречь. Удельная теплоёмкость воды $C = 4200 Дж/(кг \cdot ^{ \circ} C)$, удельная теплота плавления льда $\lambda = 340 кДж/кг$.
Решение:
Оценку времени замерзания можно получить следующим образом. Будем предполагать, что количество теплоты $q$, отдаваемое в единицу времени морозильнику, одинаково для процесса остывания от $T_{3} = +2^{ \circ} С$ до $T_{4} = 0^{ \circ} С$ и для процесса замерзания воды при $0^{ \circ} С$. Обозначая через $M$ массу воды, получаем:
$qt_{2} = CM(T_{3} - T_{4})$.
Время замерзания воды $t_{3}$ определим из соотношения
$qt_{3} = \lambda M$.
Из записанных уравнений находим:
$t_{3} = \frac{ \lambda M}{q} = \frac{ \Lambda t_{2}}{C(T_{3}-T_{4})} = \frac{340 \frac{кДж}{кг} \cdot 9 мин}{ 4200 \frac{Дж}{кг \cdot ^{ \circ}С} \cdot 2^{ \circ С}} \approx 360 мин = 6 часов$.
Более точную оценку времени замерзания можно получить, если исследовать зависимость скорости теплоотдачи от разности температур. При охлаждении от температуры
$T_{1} = + 29^{ \circ} С$ до $T_{2} = + 25^{ \circ} С$ скорость теплоотдачи в расчёте на единицу массы
$\frac{q_{1}}{M} = \frac{C(T_{1}-T_{2})}{t_{1}} = \frac{4200 Дж/( кг \cdot ^{ \circ }С) \cdot 4 ^{ \circ} С}{6 мин} = 2800 \frac{Дж}{кг \cdot мин}$,
а при охлаждении от $T_{3} = + 2^{ \circ} С$ до $T_{4} = 0^{ \circ} С$
$\frac{q_{2}}{M} = \frac{C(T_{3}-T_{4})}{t_{2}} = \frac{4200 Дж/( кг \cdot ^{ \circ }С) \cdot 2 ^{ \circ} С}{9 мин} = \frac{2800}{3} \frac{Дж}{кг \cdot мин}$,
то есть в 3 раза меньше. Это связано с тем, что в первом случае разность средней температуры воды и температуры в морозильной камере равна $\frac{T_{1}+T_{2}}{3} - T_{0} = 39^{ \circ} С$, а во втором случае эта разность равна $\frac{T_{3}+T_{4}}{2} - T_{0} = 13^{ \circ} С$, то есть также в 3 раза меньше. Таким образом, скорость теплоотдачи пропорциональна разности температур кастрюли с водой и морозильной камеры. В процессе замерзания воды эта разность будет в
$\frac{ \frac{T_{3}+T_{4}}{2} - T_{0}}{T_{4}-T_{0}} = \frac{13}{12}$
раз меньше, чем при охлаждении воды от $T_{3} = + 2^{ \circ} С$ до $T_{4} = 0^{ \circ} С$. Поэтому время замерзания будет во столько же раз больше:
$t_{3} = \frac{ \lambda t_{2}}{C(T_{3} -T_{4})(T_{4}-T_{0})} \left ( \frac{T_{3}+T_{4}}{2} - T_{0} \right ) \approx 6,5 час$.
