Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11622
2019-11-22 
Два одинаковых тяжелых стальных шарика вращаются на легких стержнях длины $l$ и $2l$ вокруг точек $O_{1}, O$, расстояние между которыми равно $3l$ (рис.). В начальный момент шарики находятся в точках A и В, имея скорости $v$ и $2v$ соответственно. Сколько раз столкнутся ширики за время $t$? За какое время шарики столкнутся $k$ раз? Соударения шариков считать абсолютно упругими.
Решение:
Так как шарики одинаковы, то при абсолютно упругих соударениях они будут обмениваться скоростями. Это следует из законов сохранения энергии и импульса (количества движения) шариков при соударении. В первый раз шарики столкнутся, когда каждый из них сделает по половине оборота вокруг точки, относительно которой он вращается. На это потребуется время $t_{1} = \frac{ \pi \cdot 2l}{2v} = \frac{ \pi l}{v}$. После соударения левый шарик будет иметь скорость $2v$, а правый - скорость $v$.
Второе соударение шариков произойдет через время $t_{2} = \frac{4 \pi l}{v}$ после первого, когда правый шарик совершит один оборот вокруг точки $O_{1}$. Левый шарик совершит за это время четыре оборота вокруг точки $O$ - у него вдвое большая скорость, и вращается он по окружности вдвое меньшero радиуса. При соударении шарики опять обменяются скоростями, и третье соударение произойдет через время $t_{3} = 2t_{1} = \frac{2 \pi l}{v}$ - после второго, когда каждый из шариков совершит один оборот. Таким образом, после каждого нечетного соударения левый шарик будет иметь скорость $2v$, а правый - скорость $v$, и поэтому следующее, четное, соударение будет происходить через время $t^{ \prime} = t_{2} = t_{4} = \cdots = \frac{4 \pi l}{v}$.
После каждого четного соударения левый шарик будет иметь скорость $v$, а правый - скорость $2v$ и следующее, теперь уже нечетное, соударение шариков будет происходить через время $t^{ \prime \prime} = 2t_{1} = t_{3} = \cdots = \frac{2 \pi l}{v}$ после четного.
Теперь нетрудно подсчитать, что если $k$ - четное число, то $k$-e соударение шариков произойдет через время
$t_{k} = \left ( \frac{k}{2} - \frac{1}{2} \right )t^{ \prime \prime} + \frac{k}{2} t^{ \prime} = (3k - 1) \frac{ \pi l}{v}$,
так как всего между шариками произойдет $\frac{k}{2}$ четных соударений и $\frac{k}{2}$ нечетных. Это означает, что правый шарик должен совершить $\frac{k}{2} - \frac{1}{2}$ оборотов, имея скорость $2v$ (здесь мы учли, что до первого соударения шарик совершает лишь половину оборота) и $\frac{k}{2}$ оборотов вокруг точки $Q_{1}$,
имея скорость $v$.
Если $k$ нечетно, то до $k$-го соударения правый шарик должен соворшить $\frac{k - 1}{2}$ оборотов, имея скорость $v$, и $\frac{k - 1}{2} + 1 - \frac{1}{2} = \frac{k}{2}$ оборотов, имея скорость $2v$. Поэтому от начального момента до момента $k$-го соударения в этом случае должно пройти время
$t_{k} = \frac{k}{2} t^{ \prime \prime} + \frac{k - 1}{2}t^{ \prime} = \frac{(2k - 2) \pi l}{v}$.
Подсчитаем теперь, сколько раз шарики столкнутся за время $t$. Будем считать, что $t > t_{1}$. Между двумя последовательными нечетными соударениями шариков проходит время $t_{0} = t^{ \prime} + t^{ \prime \prime}$. Нечетных соударений после первого будет столько, сколько раз $t_{0}$ содержится в $t - t_{1}$:
$n = \left [ \frac{t - t_{1} }{t_{0} } \right ]$
(знак [] означает «целая часть числа»).
Всего между шариками произойдет $n + 1$ нечетных соударений. До последнего нечетного соударения пройдет время, равное $\left [ \frac{t - t_{1} }{t_{0} } \right ] t_{0} + t_{1}$.
За это время между шариками должно произойти еще и $n$ четных соударений. Кроме того, если оставшееся время $t - \left ( \left [ \frac{t -t_{1} }{t_{0} } \right ] t_{0} + t_{1} \right )$ больше, чем $t^{ \prime}$, то произойдет еще одно нечетное соударение. Таким образом, за время $t$ шарики столкнутся
$N = \left [ \frac{t - t_{1} }{t_{0} } \right ] + 1 + \left [ \frac{t - t_{1} }{t_{0} } \right ] + \left [ \frac{ t - \left [ \frac{t - t_{1} }{t_{0} } \right ] (t_{1} + t_{2} ) }{t_{2} } \right ] = 2 \left [ \frac{vl - \pi l}{6 \pi l} \right ] + \left [ \frac{tv - \left [ \frac{vt - \pi l }{6 \pi l} \right ] 6 \pi l }{4 \pi l} \right ] + 1$ раз.
Два одинаковых тяжелых стальных шарика вращаются на легких стержнях длины $l$ и $2l$ вокруг точек $O_{1}, O$, расстояние между которыми равно $3l$ (рис.). В начальный момент шарики находятся в точках A и В, имея скорости $v$ и $2v$ соответственно. Сколько раз столкнутся ширики за время $t$? За какое время шарики столкнутся $k$ раз? Соударения шариков считать абсолютно упругими.
Решение:
Так как шарики одинаковы, то при абсолютно упругих соударениях они будут обмениваться скоростями. Это следует из законов сохранения энергии и импульса (количества движения) шариков при соударении. В первый раз шарики столкнутся, когда каждый из них сделает по половине оборота вокруг точки, относительно которой он вращается. На это потребуется время $t_{1} = \frac{ \pi \cdot 2l}{2v} = \frac{ \pi l}{v}$. После соударения левый шарик будет иметь скорость $2v$, а правый - скорость $v$.
Второе соударение шариков произойдет через время $t_{2} = \frac{4 \pi l}{v}$ после первого, когда правый шарик совершит один оборот вокруг точки $O_{1}$. Левый шарик совершит за это время четыре оборота вокруг точки $O$ - у него вдвое большая скорость, и вращается он по окружности вдвое меньшero радиуса. При соударении шарики опять обменяются скоростями, и третье соударение произойдет через время $t_{3} = 2t_{1} = \frac{2 \pi l}{v}$ - после второго, когда каждый из шариков совершит один оборот. Таким образом, после каждого нечетного соударения левый шарик будет иметь скорость $2v$, а правый - скорость $v$, и поэтому следующее, четное, соударение будет происходить через время $t^{ \prime} = t_{2} = t_{4} = \cdots = \frac{4 \pi l}{v}$.
После каждого четного соударения левый шарик будет иметь скорость $v$, а правый - скорость $2v$ и следующее, теперь уже нечетное, соударение шариков будет происходить через время $t^{ \prime \prime} = 2t_{1} = t_{3} = \cdots = \frac{2 \pi l}{v}$ после четного.
Теперь нетрудно подсчитать, что если $k$ - четное число, то $k$-e соударение шариков произойдет через время
$t_{k} = \left ( \frac{k}{2} - \frac{1}{2} \right )t^{ \prime \prime} + \frac{k}{2} t^{ \prime} = (3k - 1) \frac{ \pi l}{v}$,
так как всего между шариками произойдет $\frac{k}{2}$ четных соударений и $\frac{k}{2}$ нечетных. Это означает, что правый шарик должен совершить $\frac{k}{2} - \frac{1}{2}$ оборотов, имея скорость $2v$ (здесь мы учли, что до первого соударения шарик совершает лишь половину оборота) и $\frac{k}{2}$ оборотов вокруг точки $Q_{1}$,
имея скорость $v$.
Если $k$ нечетно, то до $k$-го соударения правый шарик должен соворшить $\frac{k - 1}{2}$ оборотов, имея скорость $v$, и $\frac{k - 1}{2} + 1 - \frac{1}{2} = \frac{k}{2}$ оборотов, имея скорость $2v$. Поэтому от начального момента до момента $k$-го соударения в этом случае должно пройти время
$t_{k} = \frac{k}{2} t^{ \prime \prime} + \frac{k - 1}{2}t^{ \prime} = \frac{(2k - 2) \pi l}{v}$.
Подсчитаем теперь, сколько раз шарики столкнутся за время $t$. Будем считать, что $t > t_{1}$. Между двумя последовательными нечетными соударениями шариков проходит время $t_{0} = t^{ \prime} + t^{ \prime \prime}$. Нечетных соударений после первого будет столько, сколько раз $t_{0}$ содержится в $t - t_{1}$:
$n = \left [ \frac{t - t_{1} }{t_{0} } \right ]$
(знак [] означает «целая часть числа»).
Всего между шариками произойдет $n + 1$ нечетных соударений. До последнего нечетного соударения пройдет время, равное $\left [ \frac{t - t_{1} }{t_{0} } \right ] t_{0} + t_{1}$.
За это время между шариками должно произойти еще и $n$ четных соударений. Кроме того, если оставшееся время $t - \left ( \left [ \frac{t -t_{1} }{t_{0} } \right ] t_{0} + t_{1} \right )$ больше, чем $t^{ \prime}$, то произойдет еще одно нечетное соударение. Таким образом, за время $t$ шарики столкнутся
$N = \left [ \frac{t - t_{1} }{t_{0} } \right ] + 1 + \left [ \frac{t - t_{1} }{t_{0} } \right ] + \left [ \frac{ t - \left [ \frac{t - t_{1} }{t_{0} } \right ] (t_{1} + t_{2} ) }{t_{2} } \right ] = 2 \left [ \frac{vl - \pi l}{6 \pi l} \right ] + \left [ \frac{tv - \left [ \frac{vt - \pi l }{6 \pi l} \right ] 6 \pi l }{4 \pi l} \right ] + 1$ раз.
