Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11620
2019-11-22 
Как из четырех тонких проволочных спиралей с сопротивлениями 10 ом, 20 ом, 30 ом и 40 ом, рассчитанных на выявление мощности не более 2 вт на каждой, составить нагреватель наибольшей возможной мощности, если имеется источник тока с э. д. с. 20 в и внутренним сопротивлением 20 ом?
Решение:
Докажем вначале, что во внешней цепи выделяется тем большая мощность, чем ближе сопротивление нагрузки к внутреннему сопротивлению источника.
Ток в цепи, состоящей из включенных последовательно источника с э.д.с. $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$ и нагрузки с сопротивлением $R$, равен $\frac{ \mathcal{E}}{R + r}$. Поэтому мощность, выделяемая на нагрузке, $W = \frac{ \mathcal{E}^{2} }{(R + r)^{2} }R$.
Нарисуем график зависимости $W$ от сопротивления нагрузки $R$. При $R = 0, W = 0$; при $R \rightarrow \infty$ можно пренебречь $r$ по сравнению с $R$ в знаменателе дроби. Тогда $W \approx \frac{ \mathcal{E}^{2}R }{R^{2} } = \frac{ \mathcal{E} }{R}$. То есть при больших $R (R \gg r)$ график зависимости $W$ от $R$ - это гипербола, асимптотически приближающаяся к оси $R$. Так как функция $W(R)$ непрерывна, равна нулю при $R = 0$ и убывает при $R \rightarrow \infty$, то она должна иметь максимум. Найдем его.
Выражение $\frac{ \mathcal{E}^{2}R }{(R + r)^{2} }$ максимально, когда обратное выражение $\frac{(R + r)^{2} }{ \mathcal{E}^{2}R }$ минимально. Но $\frac{(R + r)^{2} }{ \mathcal{E}^{2}R } = \frac{1}{ \mathcal{E}^{2} } \frac{R^{2} + 2Rr + r^{2} }{R} = \frac{2}{ \mathcal{E}^{2} } r + \frac{1}{ \mathcal{E}^{2} } \left ( R + \frac{r^{2} }{R} \right )$. Это выражение минимально, когда минимально выражение $R + \frac{r^{2} }{R}$. Так как $R + \frac{r^{2} }{R} \geq 2 \sqrt{R \frac{r^{2} }{R} }$ (соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух чисел $R$ и $\frac{r^{2} }{R}$), то $R + \frac{r^{2} }{R} \geq 2r$. Следовательно, минимум суммы $R + \frac{r^{2} }{R}$ равен $2r$ и достигается при $r = R$.
Итак, мощность, выделяющаяся на нагрузке, максимальна при $R = r$. График зависимости $W(R)$ показан на рисунке. Из графика видно, что $W(R)$ тем больше, чем ближе $R$ к $r$. Это означает, что из спиралей нужно составить нагреватель с сопротивлением, как можно более близким к 20 ом. Использовать лишь спираль с сопротивлением 20 ом нельзя, так как при этом на ней будет выделяться мощность $W = \left ( \frac{ \mathcal{E} }{R + r} \right )^{2}R = 5 вт$, а каждая из спиралей рассчитана на выделение мощности не более 2 вт.
Из всех возможных схем соединения спиралей наилучшая приведена на рисунке. Сопротивление такого нагревателя равно 20 ом, выделяющаяся в нагревателе мощность $W = \left( \frac{20}{20 + 20} \right )^{2} 20 = 5 вт$. Нетрудно подсчитать, что наибольшая мощность выделяется на спирали с сопротивлением 20 ом и равна 1,8 вт.
Так как мощность, отдаваемая источником, равна $\mathcal{E}I = \frac{ \mathcal{E}^{2} }{R + r}$, а полезная мощность, как мы получили, равна $\frac{ \mathcal{E}^{2}R }{(R + r)^{2}}$, то, обозначив отношение $\frac{R}{r}$ через $\alpha$, получим для к.п.д. $\eta$ следующее выражение:
$\eta = \frac{R}{R + r} = \frac{ \alpha}{1 + \alpha}$
К.п.д. велик при больших сопротивлениях нагрузки, когда в цепи идет маленький ток. При $\alpha =0, \eta = 0$; при $\alpha \rightarrow \infty , \eta \rightarrow 1$. При $\alpha = 1$, когда в нагрузке выделяется максимальная мощность, $\eta = 0,5$ (50%). При этом, конечно, в самом источнике выделяется такая же мощность, как и в нагрузке. Источник становится печкой.
Увеличивая к. п. д. установки, мы одновременно уменьшаем полезную мощность, выделяющуюся в нагрузке.
Как из четырех тонких проволочных спиралей с сопротивлениями 10 ом, 20 ом, 30 ом и 40 ом, рассчитанных на выявление мощности не более 2 вт на каждой, составить нагреватель наибольшей возможной мощности, если имеется источник тока с э. д. с. 20 в и внутренним сопротивлением 20 ом?
Решение:
Докажем вначале, что во внешней цепи выделяется тем большая мощность, чем ближе сопротивление нагрузки к внутреннему сопротивлению источника.
Ток в цепи, состоящей из включенных последовательно источника с э.д.с. $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$ и нагрузки с сопротивлением $R$, равен $\frac{ \mathcal{E}}{R + r}$. Поэтому мощность, выделяемая на нагрузке, $W = \frac{ \mathcal{E}^{2} }{(R + r)^{2} }R$.
Нарисуем график зависимости $W$ от сопротивления нагрузки $R$. При $R = 0, W = 0$; при $R \rightarrow \infty$ можно пренебречь $r$ по сравнению с $R$ в знаменателе дроби. Тогда $W \approx \frac{ \mathcal{E}^{2}R }{R^{2} } = \frac{ \mathcal{E} }{R}$. То есть при больших $R (R \gg r)$ график зависимости $W$ от $R$ - это гипербола, асимптотически приближающаяся к оси $R$. Так как функция $W(R)$ непрерывна, равна нулю при $R = 0$ и убывает при $R \rightarrow \infty$, то она должна иметь максимум. Найдем его.
Выражение $\frac{ \mathcal{E}^{2}R }{(R + r)^{2} }$ максимально, когда обратное выражение $\frac{(R + r)^{2} }{ \mathcal{E}^{2}R }$ минимально. Но $\frac{(R + r)^{2} }{ \mathcal{E}^{2}R } = \frac{1}{ \mathcal{E}^{2} } \frac{R^{2} + 2Rr + r^{2} }{R} = \frac{2}{ \mathcal{E}^{2} } r + \frac{1}{ \mathcal{E}^{2} } \left ( R + \frac{r^{2} }{R} \right )$. Это выражение минимально, когда минимально выражение $R + \frac{r^{2} }{R}$. Так как $R + \frac{r^{2} }{R} \geq 2 \sqrt{R \frac{r^{2} }{R} }$ (соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух чисел $R$ и $\frac{r^{2} }{R}$), то $R + \frac{r^{2} }{R} \geq 2r$. Следовательно, минимум суммы $R + \frac{r^{2} }{R}$ равен $2r$ и достигается при $r = R$.
Итак, мощность, выделяющаяся на нагрузке, максимальна при $R = r$. График зависимости $W(R)$ показан на рисунке. Из графика видно, что $W(R)$ тем больше, чем ближе $R$ к $r$. Это означает, что из спиралей нужно составить нагреватель с сопротивлением, как можно более близким к 20 ом. Использовать лишь спираль с сопротивлением 20 ом нельзя, так как при этом на ней будет выделяться мощность $W = \left ( \frac{ \mathcal{E} }{R + r} \right )^{2}R = 5 вт$, а каждая из спиралей рассчитана на выделение мощности не более 2 вт.
Из всех возможных схем соединения спиралей наилучшая приведена на рисунке. Сопротивление такого нагревателя равно 20 ом, выделяющаяся в нагревателе мощность $W = \left( \frac{20}{20 + 20} \right )^{2} 20 = 5 вт$. Нетрудно подсчитать, что наибольшая мощность выделяется на спирали с сопротивлением 20 ом и равна 1,8 вт.
Так как мощность, отдаваемая источником, равна $\mathcal{E}I = \frac{ \mathcal{E}^{2} }{R + r}$, а полезная мощность, как мы получили, равна $\frac{ \mathcal{E}^{2}R }{(R + r)^{2}}$, то, обозначив отношение $\frac{R}{r}$ через $\alpha$, получим для к.п.д. $\eta$ следующее выражение:
$\eta = \frac{R}{R + r} = \frac{ \alpha}{1 + \alpha}$
К.п.д. велик при больших сопротивлениях нагрузки, когда в цепи идет маленький ток. При $\alpha =0, \eta = 0$; при $\alpha \rightarrow \infty , \eta \rightarrow 1$. При $\alpha = 1$, когда в нагрузке выделяется максимальная мощность, $\eta = 0,5$ (50%). При этом, конечно, в самом источнике выделяется такая же мощность, как и в нагрузке. Источник становится печкой.
Увеличивая к. п. д. установки, мы одновременно уменьшаем полезную мощность, выделяющуюся в нагрузке.
