Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11619
2019-11-22 
На горизонтальном столе находится грузик, прикрепленный к столу при помощи длинной пружины. Сначала пружина была не растянута. Затем грузик сдвинули на 20 см от положения равновесия и отпустили. Грузик начал колебаться вдоль пружины. За счет трепня амплитуда его колебаний за период уменьшилась на 7%. Сколько всего колебаний совершит грузик до остановки. На каком расстоянии от положения равновесия он остановится?
Решение:
Если на колеблющийся маятник действует постоянная внешняя сила, то она смещает положение равновесия маятника. Например, если сравнить колебания груза, прикрепленного к пружине и движущегося без трения по горизонтальной плоскости, с колебаниями этой же системы в вертикальной плоскости, когда на груз вдоль линии его движения действует сила тяжести, то мы увидим, что но втором случае положение равновесия груза будет дальше от закрепленного конца пружины на расстояние $x = \frac{mg}{k}$, где $k$ - коэффициент жесткости пружины, а $m$ - масса груза. При этом период колебаний груза будет в обоих случаях один и тот же.
Действие на маятник постоянной внешней силы не меняет периода колебаний маятника и не вызывает затухания его колебаний, так как половину периода действие внешней силы уменьшает энергию маятника, а вторую половину периода ровно на столько же увеличивает энергию маятника. Другое дело, когда, как в нашем случае, действующая на маятник сила постоянна только каждую половину периода, меняя через полпериода направление на противоположное. В этом случае колебания маятника затухают, так как при движении груза действующая на пего сила всегда направлена в сторону, противоположную направлению его движения. Причем каждые пол периода колебания груза происходят около разных положений равновесия. При движении груза вправо положение равновесия - это точка А (рис.), так как сила трения, действующая иа груз, направлена влево (сравните с колебаниями груза, подвешенного на пружине), а при движении влево - точка В.
Ясно, что точки А и В находятся на одинаковом расстоянии от точки О - положения груза при недеформированной пружине. Это расстояние находится из условия равенства действующих на груз силы натяжения пружины $F = k \Delta x$ ($\Delta x$ - деформация пружины) и силы трении: $k \Delta x = F_{тр}$. Отсюда
$a = AO = OB = \Delta x = \frac{F_{тр} }{k}$.
Колебания груза не могут быть ограничены областью между точками А и В, так как в этой области сила натяжения пружины не превышает максимальной возможной силы трения. Поэтому, если скорость груза в какой-нибудь точке в этой области окажется равной нулю, то груз остановится: сила натяжения пружины будет уравновешена силой трения.
Обозначим амплитуду $n$ - го колебания груза (отклонение груза от точки О) буквой $y_{n}$, если груз отклонен вправо от точки О, и $x_{n}$, если груз отклонен влево от точки О. $y_{0} = 20 см$ - начальное отклонение груза. По условию
$\frac{y_{0} - y_{1}}{y_{0}} = 0,07$. (7)
Найдем закон изменения амплитуды колебаний груза. Изменение энергии системы при движении груза равно работе силы трения, поэтому, используя формулу для энергии деформированной пружины $W = \frac{k ( \Delta x)^{2} }{2}$, можно записать, что
$\frac{k y_{n}^{2}}{2} - \frac{kx_{n}^{2} }{2} = F_{тр}(y_{n} + x_{n} )$ (8)
и
$\frac{kx_{n}^{2} }{2} - \frac{ky_{n + 1}^{2} }{2} = F_{тр} (x_{n} + y_{n + 1} )$.
Разделив обе части первого уравнения на $y_{n} + x_{n}$, найдем, что $y_{n} - x_{n} = 2 \frac{F_{тр} }{k }$. Аналогично из второго уравнения получим, что $x_{n} - y_{n + 1} = 2 \frac{F_{тр} }{k}$. Сложив получившиеся уравнения, найдем, что
$y_{n} - y_{n + 1} = 4 \frac{F_{тр} }{k}$. (9)
Но $\frac{F_{тр} }{k} = a$, поэтому $y_{0} - y_{1} = y_{1} - y_{2} = \cdots = y_{n} - y_{n + 1} = 4a$. (10)
Амплитуда колебаний груза за период уменьшается на одну и туже величину, равную $4a$. Подставив в формулу (7) вместо разности $y_{0} - y_{1}$, равную ей разность $y_{n} - y_{n - 1}$, получим, что $\frac{y_{n} - y_{n+1} }{y_{0} } = 0,07$, или что за период амплитуда колебаний груза уменьшается на $0,07y_{0} = 1,4см$. Через $n$ колебаний она станет равной $y_{n} = y_{0} - n \cdot 0,07y_{0}$. При этом амплитуда колебаний груза, как мы уже говорили, не может быть меньше, чем $a$. Так как, согласно формулам (7) и (10), $4a = y_{0} - y_{1} = 0,07 y_{0} = 1,4 см$, то $a = 0,35 см$.
Из условия $y_{n} \geq a$ или $20(1 - 0,07n) \geq 0,35$ получим, что $n \leq 14,04$. $n$ - целое число. Поэтому груз совершит 14 полных колебаний.
Так как, $y_{14} = 20(1 - 0,07 \cdot 14) = 0,4 см$, то есть $y_{14} > a$, и груз находится вне области между точками A и В. Поэтому действующая на груз сила натяжения больше силы трения, и груз совершит еще часть колебания остановившись на расстоянии $y$ от точки О. Причем груз не может дойти до точки О. При движении влево положение его равновесия - точка В, и груз не может отклониться до точки В на расстояние большее, чем $y_{14} - a \simeq 0,5 см$.
Путь, пройденный грузом до остановки, равен $y_{14} - y$. Энергия системы в точке, в которой остановится груз, равна $\frac{ky^{2} }{2}$. Приравняв разность энергий системы работе силы трения, получим уравнение $\frac{ky_{14}^{2} }{2} - \frac{ky^{2} }{2} = F_{тр}(y_{14} - y )$. Разделив это уравнение на не равную нулю разность $y_{14} - y$, получим, что $ky_{14} + ky = 2F_{тр}$. Отсюда
$y = 2 \frac{F_{тр} }{k} - y_{14} = 2a - y_{14} = 0,3 см$.
На горизонтальном столе находится грузик, прикрепленный к столу при помощи длинной пружины. Сначала пружина была не растянута. Затем грузик сдвинули на 20 см от положения равновесия и отпустили. Грузик начал колебаться вдоль пружины. За счет трепня амплитуда его колебаний за период уменьшилась на 7%. Сколько всего колебаний совершит грузик до остановки. На каком расстоянии от положения равновесия он остановится?
Решение:
Если на колеблющийся маятник действует постоянная внешняя сила, то она смещает положение равновесия маятника. Например, если сравнить колебания груза, прикрепленного к пружине и движущегося без трения по горизонтальной плоскости, с колебаниями этой же системы в вертикальной плоскости, когда на груз вдоль линии его движения действует сила тяжести, то мы увидим, что но втором случае положение равновесия груза будет дальше от закрепленного конца пружины на расстояние $x = \frac{mg}{k}$, где $k$ - коэффициент жесткости пружины, а $m$ - масса груза. При этом период колебаний груза будет в обоих случаях один и тот же.
Действие на маятник постоянной внешней силы не меняет периода колебаний маятника и не вызывает затухания его колебаний, так как половину периода действие внешней силы уменьшает энергию маятника, а вторую половину периода ровно на столько же увеличивает энергию маятника. Другое дело, когда, как в нашем случае, действующая на маятник сила постоянна только каждую половину периода, меняя через полпериода направление на противоположное. В этом случае колебания маятника затухают, так как при движении груза действующая на пего сила всегда направлена в сторону, противоположную направлению его движения. Причем каждые пол периода колебания груза происходят около разных положений равновесия. При движении груза вправо положение равновесия - это точка А (рис.), так как сила трения, действующая иа груз, направлена влево (сравните с колебаниями груза, подвешенного на пружине), а при движении влево - точка В.
Ясно, что точки А и В находятся на одинаковом расстоянии от точки О - положения груза при недеформированной пружине. Это расстояние находится из условия равенства действующих на груз силы натяжения пружины $F = k \Delta x$ ($\Delta x$ - деформация пружины) и силы трении: $k \Delta x = F_{тр}$. Отсюда
$a = AO = OB = \Delta x = \frac{F_{тр} }{k}$.
Колебания груза не могут быть ограничены областью между точками А и В, так как в этой области сила натяжения пружины не превышает максимальной возможной силы трения. Поэтому, если скорость груза в какой-нибудь точке в этой области окажется равной нулю, то груз остановится: сила натяжения пружины будет уравновешена силой трения.
Обозначим амплитуду $n$ - го колебания груза (отклонение груза от точки О) буквой $y_{n}$, если груз отклонен вправо от точки О, и $x_{n}$, если груз отклонен влево от точки О. $y_{0} = 20 см$ - начальное отклонение груза. По условию
$\frac{y_{0} - y_{1}}{y_{0}} = 0,07$. (7)
Найдем закон изменения амплитуды колебаний груза. Изменение энергии системы при движении груза равно работе силы трения, поэтому, используя формулу для энергии деформированной пружины $W = \frac{k ( \Delta x)^{2} }{2}$, можно записать, что
$\frac{k y_{n}^{2}}{2} - \frac{kx_{n}^{2} }{2} = F_{тр}(y_{n} + x_{n} )$ (8)
и
$\frac{kx_{n}^{2} }{2} - \frac{ky_{n + 1}^{2} }{2} = F_{тр} (x_{n} + y_{n + 1} )$.
Разделив обе части первого уравнения на $y_{n} + x_{n}$, найдем, что $y_{n} - x_{n} = 2 \frac{F_{тр} }{k }$. Аналогично из второго уравнения получим, что $x_{n} - y_{n + 1} = 2 \frac{F_{тр} }{k}$. Сложив получившиеся уравнения, найдем, что
$y_{n} - y_{n + 1} = 4 \frac{F_{тр} }{k}$. (9)
Но $\frac{F_{тр} }{k} = a$, поэтому $y_{0} - y_{1} = y_{1} - y_{2} = \cdots = y_{n} - y_{n + 1} = 4a$. (10)
Амплитуда колебаний груза за период уменьшается на одну и туже величину, равную $4a$. Подставив в формулу (7) вместо разности $y_{0} - y_{1}$, равную ей разность $y_{n} - y_{n - 1}$, получим, что $\frac{y_{n} - y_{n+1} }{y_{0} } = 0,07$, или что за период амплитуда колебаний груза уменьшается на $0,07y_{0} = 1,4см$. Через $n$ колебаний она станет равной $y_{n} = y_{0} - n \cdot 0,07y_{0}$. При этом амплитуда колебаний груза, как мы уже говорили, не может быть меньше, чем $a$. Так как, согласно формулам (7) и (10), $4a = y_{0} - y_{1} = 0,07 y_{0} = 1,4 см$, то $a = 0,35 см$.
Из условия $y_{n} \geq a$ или $20(1 - 0,07n) \geq 0,35$ получим, что $n \leq 14,04$. $n$ - целое число. Поэтому груз совершит 14 полных колебаний.
Так как, $y_{14} = 20(1 - 0,07 \cdot 14) = 0,4 см$, то есть $y_{14} > a$, и груз находится вне области между точками A и В. Поэтому действующая на груз сила натяжения больше силы трения, и груз совершит еще часть колебания остановившись на расстоянии $y$ от точки О. Причем груз не может дойти до точки О. При движении влево положение его равновесия - точка В, и груз не может отклониться до точки В на расстояние большее, чем $y_{14} - a \simeq 0,5 см$.
Путь, пройденный грузом до остановки, равен $y_{14} - y$. Энергия системы в точке, в которой остановится груз, равна $\frac{ky^{2} }{2}$. Приравняв разность энергий системы работе силы трения, получим уравнение $\frac{ky_{14}^{2} }{2} - \frac{ky^{2} }{2} = F_{тр}(y_{14} - y )$. Разделив это уравнение на не равную нулю разность $y_{14} - y$, получим, что $ky_{14} + ky = 2F_{тр}$. Отсюда
$y = 2 \frac{F_{тр} }{k} - y_{14} = 2a - y_{14} = 0,3 см$.
