Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11613
2019-11-22 
На горизонтальной плоскости лежат два шарика с массами $m_{1}$ и $m_{2}$, скрепленные между собой пружинкой с жесткостью $c$. Плоскость гладкая. Шарики сдвигают, сжимая пружину, затем их одновременно отпускают. Определите периоды возникших колебаний шариков
Решение:
Центр масс системы не должен двигаться (или может двигаться равномерно и прямолинейно), поэтому шарики колеблются в противофазе с одинаковой частотой, а их отклонения $x_{1}$ и $x_{2}$ от положения равновесия удовлетворяют соотношению $c_{1}x_{1} = c_{2}x_{2}$, где $c_{1}$ и $c_{2}$ - коэффициенты жесткости соответствующих кусков пружины длиной $l_{1}$ и $l_{2}$ ($l_{1}$ и $l_{2}$ - расстояния от шариков до центра масс системы;
$l_{1} = l \frac{m_{2} }{m_{1} + m_{2} }, l_{2} = l \frac{m_{1} }{m_{1} + m_{2} }$ ).
Удлинение $1/q$ - й части пружины всегда в $q$ раз меньше удлинения всей пружины, т. е. $1/q$-я часть пружины имеет жесткость в $q$ раз большую, чем жесткость всей пружины. Поэтому $c_{1} = \frac{m_{1} + m_{2} }{m_{2} }c$. Отсюда следует, что период колебаний шариков
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m_{1}m_{2} }{(m_{1} + m_{2})c } }$.
Интересно проверим, ответ, взяв какой-нибудь предельный случай. Предположим, что масса $m_{2}$ очень велика: $m_{2} \gg m_{1}$. Тогда шарик с массой $m_{1}$ должен колебаться так, как если бы второй шар был неподвижно закреплен, и $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m_{1} }{c} }$. Проверим нашу формулу
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m_{1} }{c \left ( 1 + \frac{m_{1} }{m_{2} } \right ) } } \simeq 2 \pi \sqrt{ \frac{m_{1} }{c} }$.
На горизонтальной плоскости лежат два шарика с массами $m_{1}$ и $m_{2}$, скрепленные между собой пружинкой с жесткостью $c$. Плоскость гладкая. Шарики сдвигают, сжимая пружину, затем их одновременно отпускают. Определите периоды возникших колебаний шариков
Решение:
Центр масс системы не должен двигаться (или может двигаться равномерно и прямолинейно), поэтому шарики колеблются в противофазе с одинаковой частотой, а их отклонения $x_{1}$ и $x_{2}$ от положения равновесия удовлетворяют соотношению $c_{1}x_{1} = c_{2}x_{2}$, где $c_{1}$ и $c_{2}$ - коэффициенты жесткости соответствующих кусков пружины длиной $l_{1}$ и $l_{2}$ ($l_{1}$ и $l_{2}$ - расстояния от шариков до центра масс системы;
$l_{1} = l \frac{m_{2} }{m_{1} + m_{2} }, l_{2} = l \frac{m_{1} }{m_{1} + m_{2} }$ ).
Удлинение $1/q$ - й части пружины всегда в $q$ раз меньше удлинения всей пружины, т. е. $1/q$-я часть пружины имеет жесткость в $q$ раз большую, чем жесткость всей пружины. Поэтому $c_{1} = \frac{m_{1} + m_{2} }{m_{2} }c$. Отсюда следует, что период колебаний шариков
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m_{1}m_{2} }{(m_{1} + m_{2})c } }$.
Интересно проверим, ответ, взяв какой-нибудь предельный случай. Предположим, что масса $m_{2}$ очень велика: $m_{2} \gg m_{1}$. Тогда шарик с массой $m_{1}$ должен колебаться так, как если бы второй шар был неподвижно закреплен, и $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m_{1} }{c} }$. Проверим нашу формулу
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m_{1} }{c \left ( 1 + \frac{m_{1} }{m_{2} } \right ) } } \simeq 2 \pi \sqrt{ \frac{m_{1} }{c} }$.
