Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11612
2019-11-22 
Три сообщающихся сосуда с водой, центры которых находятся на одинаковом расстоянии $d$ друг от друга, прикрыты поршнями одинаковой толщины, сделанными на одного н того же материала. К поршням прикреплены вертикальные одинаковые штоки, которые шарнирно соединены со стержнем АВ. В какой точке стержня можно прикрепить к нему груз, чтобы в положении равновесия стержень оставался горизонтальным, если массы стержня и штоков пренебрежимо малы по сравнению с массами поршней и груза. Диаметры сосудов соответственно $d_{1}, d_{2}$ и $d_{3}$.
Решение:
Стержень AВ и поршни находятся в равновесии иод действием семи сил: силы $Q$, действующей со стороны груза, сил тяжести, действующих на поршни - эти силы пропорциональны площадям поршней: $P_{1} = k_{1}d_{1}^{2}; P_{2} = k_{1}d_{2}^{2}; P_{3} = k_{1}d_{3}^{2}$ и трех сил давления жидкости на поршни: $N_{1}, N_{2}, N_{3}$ (рис.). Так как уровни жидкости в сосудах одинаковы, давления на все поршни равны, а силы давления относятся как площади поршней: $N_{1} : N_{2} : N_{3} = d_{1}^{2} : d_{2}^{2} : d_{3}^{2}$. Поэтому $N_{1} = k_{2}d_{1}^{2}, N_{2} = k_{2}d_{2}^{2}, N_{3} = k_{2}d_{3}^{2}$. Равнодействующие сил, приложенных к каждому из поршней, равны: $F_{1} = N_{1} - P_{1} = (k_{2} - k_{1})d_{1}^{2} = kd_{1}^{2}, F_{2} = kd_{2}^{2}, F_{3} = kd_{3}^{2}$.
Обозначив через $x$ расстояние от середины стержня до точки, в которой прикреплен груз, запишем условия равновесия стержня: 1) равенство нулю суммы всех сил, действующих на стержень: $F_{1} + F_{2} + F_{3} - Q = 0$ и 2) равенство нулю суммы моментов всех сил, действующих на стержень, относительно середины стержня: $F_{1}a - F_{3}a - Qx = 0$. Подставляч в эти уравнения выражения для $F_{1}, F_{2}$ и $F_{3}$, а затем решая эти уравнения совместно, найдем, что
$x = \frac{d_{1}^{2} - d_{3}^{2} }{d_{1}^{2} + d_{3}^{2} + d_{3}^{2} }a$
Так как поршни сделаны из одного и того же материала и имеют одинаковую толщину, то дополнительные давления на воду не зависят от диаметров поршней. Условие же равновесия поршней - это равенство давлений на воду во всех цилиндрах (так как уровни воды в цилиндрах одинаковы). Дополнительные давления из-за поршней этому условию удовлетворяют автоматически.
Три сообщающихся сосуда с водой, центры которых находятся на одинаковом расстоянии $d$ друг от друга, прикрыты поршнями одинаковой толщины, сделанными на одного н того же материала. К поршням прикреплены вертикальные одинаковые штоки, которые шарнирно соединены со стержнем АВ. В какой точке стержня можно прикрепить к нему груз, чтобы в положении равновесия стержень оставался горизонтальным, если массы стержня и штоков пренебрежимо малы по сравнению с массами поршней и груза. Диаметры сосудов соответственно $d_{1}, d_{2}$ и $d_{3}$.
Решение:
Стержень AВ и поршни находятся в равновесии иод действием семи сил: силы $Q$, действующей со стороны груза, сил тяжести, действующих на поршни - эти силы пропорциональны площадям поршней: $P_{1} = k_{1}d_{1}^{2}; P_{2} = k_{1}d_{2}^{2}; P_{3} = k_{1}d_{3}^{2}$ и трех сил давления жидкости на поршни: $N_{1}, N_{2}, N_{3}$ (рис.). Так как уровни жидкости в сосудах одинаковы, давления на все поршни равны, а силы давления относятся как площади поршней: $N_{1} : N_{2} : N_{3} = d_{1}^{2} : d_{2}^{2} : d_{3}^{2}$. Поэтому $N_{1} = k_{2}d_{1}^{2}, N_{2} = k_{2}d_{2}^{2}, N_{3} = k_{2}d_{3}^{2}$. Равнодействующие сил, приложенных к каждому из поршней, равны: $F_{1} = N_{1} - P_{1} = (k_{2} - k_{1})d_{1}^{2} = kd_{1}^{2}, F_{2} = kd_{2}^{2}, F_{3} = kd_{3}^{2}$.
Обозначив через $x$ расстояние от середины стержня до точки, в которой прикреплен груз, запишем условия равновесия стержня: 1) равенство нулю суммы всех сил, действующих на стержень: $F_{1} + F_{2} + F_{3} - Q = 0$ и 2) равенство нулю суммы моментов всех сил, действующих на стержень, относительно середины стержня: $F_{1}a - F_{3}a - Qx = 0$. Подставляч в эти уравнения выражения для $F_{1}, F_{2}$ и $F_{3}$, а затем решая эти уравнения совместно, найдем, что
$x = \frac{d_{1}^{2} - d_{3}^{2} }{d_{1}^{2} + d_{3}^{2} + d_{3}^{2} }a$
Так как поршни сделаны из одного и того же материала и имеют одинаковую толщину, то дополнительные давления на воду не зависят от диаметров поршней. Условие же равновесия поршней - это равенство давлений на воду во всех цилиндрах (так как уровни воды в цилиндрах одинаковы). Дополнительные давления из-за поршней этому условию удовлетворяют автоматически.
