Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1161
2016-10-20 
Горячий суп, налитый доверху в большую тарелку, охлаждается до температуры, при которой его можно есть без риска обжечься, за время $t = 20 мин$. Через какое время можно будет есть суп с той же начальной температурой, если разлить его по маленьким тарелкам, которые также заполнены доверху и подобны большой? Известно, что суп из большой тарелки помещается в $n = 8 маленьких, и что количество тепла, отдаваемое в единицу времени с единицы поверхности каждой тарелки, пропорционально разности температур супа и окружающей среды.
Решение:
Будем считать тарелки цилиндрическими. Обозначим радиус и высоту большой тарелки через $R$ и $H$, а радиус и высоту маленькой тарелки через $r$ и $h$. Пусть масса супа в большой тарелке равна $M$, а его объём $V$. Тогда масса супа в маленькой тарелке $m = M/n = M/8$.
Подобие тарелок означает, что их радиусы $R$ и $r$ и глубины $H$ и $h$ отличаются друг от друга в одно и то же число раз $N$:
$r = \frac{R}{N}, h = \frac{H}{N}$.
Значит, объёмы большой и маленькой тарелок $V$ и $v$ и массы супа в них связаны соотношением:
$\frac{M}{m} = \frac{V}{v} = \frac{ \pi R^{2} H}{ \pi r^{2} h} = N^{3} = n$,
откуда $N = \sqrt[3]{n} = 2$, то есть маленькая тарелка по размерам вдвое меньше большой.
По условию задачи, для каждой из тарелок теплоотдача происходит с поверхности супа в соответствии с законом
$\frac{ \Delta Q}{ \Delta t} = \alpha S (T - T_{0})$,
где $\Delta Q$ — количество теплоты, отдаваемое за время $\Delta t$ с поверхности площадью $S; T$ и $T_{0}$ — начальная температура супа и температура окружающей среды; $\alpha$ — постоянный коэффициент пропорциональности. С другой стороны, известно, что при остывании супа на $\Delta T$ градусов он отдаёт количество теплоты $\Delta Q = CM \Delta T$, где $C$ — удельная теплоёмкость супа. Значит, справедливо равенство
$\frac{ CM \Delta T}{ \Delta t} = \alpha S (T- T_{0})$,
Учитывая, что площадь поверхности тарелки пропорциональна квадрату её радиуса $(S \sim R^{2})$, а масса супа пропорциональна его объёму $(M \sim R^{2} H)$, для скорости остывания супа получаем:
$\frac{ \Delta T}{ \Delta t} = \frac{ \alpha S}{CM}(T-T{0}) \sim \frac{ \alpha R^{2}}{CR^{2}H} (T-T_{0}) \sim \frac{T-T_{0}}{H}$.
Таким образом, мы установили, что при одинаковой разности начальной температуры супа и температуры окружающей среды скорость остывания супа обратно пропорциональна глубине тарелки, то есть для большой тарелки, высота которой $H = Nh = \sqrt[3]{n} \cdot h = 2h$, скорость охлаждения будет вдвое меньше, чем для маленькой. Отсюда следует, что время охлаждения маленькой тарелки будет в $\sqrt[3]{n} = 2$ раза меньше, чем большой, то есть суп из маленькой тарелки можно будет есть через
$t^{ \prime} = \frac{t}{ \sqrt[3]{n}} = 10 минут$.
Горячий суп, налитый доверху в большую тарелку, охлаждается до температуры, при которой его можно есть без риска обжечься, за время $t = 20 мин$. Через какое время можно будет есть суп с той же начальной температурой, если разлить его по маленьким тарелкам, которые также заполнены доверху и подобны большой? Известно, что суп из большой тарелки помещается в $n = 8 маленьких, и что количество тепла, отдаваемое в единицу времени с единицы поверхности каждой тарелки, пропорционально разности температур супа и окружающей среды.
Решение:
Будем считать тарелки цилиндрическими. Обозначим радиус и высоту большой тарелки через $R$ и $H$, а радиус и высоту маленькой тарелки через $r$ и $h$. Пусть масса супа в большой тарелке равна $M$, а его объём $V$. Тогда масса супа в маленькой тарелке $m = M/n = M/8$.
Подобие тарелок означает, что их радиусы $R$ и $r$ и глубины $H$ и $h$ отличаются друг от друга в одно и то же число раз $N$:
$r = \frac{R}{N}, h = \frac{H}{N}$.
Значит, объёмы большой и маленькой тарелок $V$ и $v$ и массы супа в них связаны соотношением:
$\frac{M}{m} = \frac{V}{v} = \frac{ \pi R^{2} H}{ \pi r^{2} h} = N^{3} = n$,
откуда $N = \sqrt[3]{n} = 2$, то есть маленькая тарелка по размерам вдвое меньше большой.
По условию задачи, для каждой из тарелок теплоотдача происходит с поверхности супа в соответствии с законом
$\frac{ \Delta Q}{ \Delta t} = \alpha S (T - T_{0})$,
где $\Delta Q$ — количество теплоты, отдаваемое за время $\Delta t$ с поверхности площадью $S; T$ и $T_{0}$ — начальная температура супа и температура окружающей среды; $\alpha$ — постоянный коэффициент пропорциональности. С другой стороны, известно, что при остывании супа на $\Delta T$ градусов он отдаёт количество теплоты $\Delta Q = CM \Delta T$, где $C$ — удельная теплоёмкость супа. Значит, справедливо равенство
$\frac{ CM \Delta T}{ \Delta t} = \alpha S (T- T_{0})$,
Учитывая, что площадь поверхности тарелки пропорциональна квадрату её радиуса $(S \sim R^{2})$, а масса супа пропорциональна его объёму $(M \sim R^{2} H)$, для скорости остывания супа получаем:
$\frac{ \Delta T}{ \Delta t} = \frac{ \alpha S}{CM}(T-T{0}) \sim \frac{ \alpha R^{2}}{CR^{2}H} (T-T_{0}) \sim \frac{T-T_{0}}{H}$.
Таким образом, мы установили, что при одинаковой разности начальной температуры супа и температуры окружающей среды скорость остывания супа обратно пропорциональна глубине тарелки, то есть для большой тарелки, высота которой $H = Nh = \sqrt[3]{n} \cdot h = 2h$, скорость охлаждения будет вдвое меньше, чем для маленькой. Отсюда следует, что время охлаждения маленькой тарелки будет в $\sqrt[3]{n} = 2$ раза меньше, чем большой, то есть суп из маленькой тарелки можно будет есть через
$t^{ \prime} = \frac{t}{ \sqrt[3]{n}} = 10 минут$.
