Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1159
2016-10-20 
На столе стоят два одинаковых стакана, в один из которых налит горячий чай, имеющий температуру $T_{0}$. Его можно охладить до требуемой конечной температуры $T_{к}$ двумя способами:
1) сразу перелить во второй стакан и ждать, пока он остынет до температуры $T_{к}$;
2) ожидать, пока он остынет до некоторой температуры $T^{ \prime}$ такой, чтобы после переливания во второй стакан температура сразу оказалась равной $T_{к}$.
Какой способ быстрее? Известно, что теплоотдача стакана с чаем пропорциональна разности температур стакана и окружающей среды, а теплообмен между чаем и стаканом происходит очень быстро. Теплоёмкость стакана $C_{0}$, чая $C$.
Решение:
Для удобства будем называть разность температур чая и окружающей среды просто температурой $T$. Тогда если чай в стакане до переливания имел некоторую температуру $T_{1}$, а после переливания в холодный стакан остыл до температуры $T_{2}$, то справедливо уравнение теплового баланса:
$C(T_{1} - T_{2}) = C_{0}T_{2}$,
откуда
$T_{2} = \frac{C}{C_{0}+C} T_{1}$.
Таким образом, температура чая после переливания пропорциональна его температуре до переливания: $T_{2} = \beta T_{1}$, причём коэффициент пропорциональности $\beta = \frac{C}{C_{0}+C} < 1$.
Поскольку, согласно условию задачи, теплоотдача стакана с чаем пропорциональна введённой нами температуре $T$, то скорость изменения температуры стакана с чаем:
$\frac{\Delta T}{ \Delta t} = - \alpha T$,
где $\alpha > 0$ — постоянный коэффициент пропорциональности, а $\Delta t$ — малый промежуток времени. Это уравнение можно переписать в виде:
$\frac{ \Delta T}{T} = \frac{T(t+ \Delta t) - T(t)}{T(t)} = - \alpha \Delta t$,
откуда видно, что отношение $B( \Delta t) = \frac{T(t+ \Delta t)}{T(t)}$ не зависит от $T$, даже если $\Delta t$ — не малый, а конечный промежуток времени.
В частности, в качестве $\Delta t$ можно выбрать промежуток времени от $t = 0$ (начало остывания) до $t = t_{к}$ (момент времени, к которому чай остынет до нужной температуры $T_{к}$).
Рассмотрим далее процессы 1 и 2 охлаждения чая (см. рис.). В первом процессе температура вначале падает от $T_{0}$ до $\beta T_{0}$ за счёт переливания чая в холодный стакан, а затем уменьшается за счёт теплоотдачи ещё в $B(t_{к})$ раз и достигает значения
$T^{(1)}(t_{к}) = T_{к} = B(t_{к}) \beta T_{0}$.
Во втором процессе к моменту времени $t_{к}$ чай за счёт теплоотдачи остынет до температуры $T^{ \prime} = B(t_{к})T_{0}$, а затем, после переливания в холодный стакан, его температура уменьшится ещё в $\beta$ раз и станет равной:
$T^{(2)}(t_{к}) = \beta T^{ \prime} = \beta B(t_{к}) T_{0} = T^{(1)}(t_{к}) = T_{к}$.
Таким образом, время остывания чая до нужной температуры в обоих процессах одинаково, то есть чай можно переливать из одного стакана в другой в любой момент времени от $t = 0$ до $t = t_{к}$.
На столе стоят два одинаковых стакана, в один из которых налит горячий чай, имеющий температуру $T_{0}$. Его можно охладить до требуемой конечной температуры $T_{к}$ двумя способами:
1) сразу перелить во второй стакан и ждать, пока он остынет до температуры $T_{к}$;
2) ожидать, пока он остынет до некоторой температуры $T^{ \prime}$ такой, чтобы после переливания во второй стакан температура сразу оказалась равной $T_{к}$.
Какой способ быстрее? Известно, что теплоотдача стакана с чаем пропорциональна разности температур стакана и окружающей среды, а теплообмен между чаем и стаканом происходит очень быстро. Теплоёмкость стакана $C_{0}$, чая $C$.
Решение:
Для удобства будем называть разность температур чая и окружающей среды просто температурой $T$. Тогда если чай в стакане до переливания имел некоторую температуру $T_{1}$, а после переливания в холодный стакан остыл до температуры $T_{2}$, то справедливо уравнение теплового баланса:
$C(T_{1} - T_{2}) = C_{0}T_{2}$,
откуда
$T_{2} = \frac{C}{C_{0}+C} T_{1}$.
Таким образом, температура чая после переливания пропорциональна его температуре до переливания: $T_{2} = \beta T_{1}$, причём коэффициент пропорциональности $\beta = \frac{C}{C_{0}+C} < 1$.
Поскольку, согласно условию задачи, теплоотдача стакана с чаем пропорциональна введённой нами температуре $T$, то скорость изменения температуры стакана с чаем:
$\frac{\Delta T}{ \Delta t} = - \alpha T$,
где $\alpha > 0$ — постоянный коэффициент пропорциональности, а $\Delta t$ — малый промежуток времени. Это уравнение можно переписать в виде:
$\frac{ \Delta T}{T} = \frac{T(t+ \Delta t) - T(t)}{T(t)} = - \alpha \Delta t$,
откуда видно, что отношение $B( \Delta t) = \frac{T(t+ \Delta t)}{T(t)}$ не зависит от $T$, даже если $\Delta t$ — не малый, а конечный промежуток времени.
В частности, в качестве $\Delta t$ можно выбрать промежуток времени от $t = 0$ (начало остывания) до $t = t_{к}$ (момент времени, к которому чай остынет до нужной температуры $T_{к}$).
Рассмотрим далее процессы 1 и 2 охлаждения чая (см. рис.). В первом процессе температура вначале падает от $T_{0}$ до $\beta T_{0}$ за счёт переливания чая в холодный стакан, а затем уменьшается за счёт теплоотдачи ещё в $B(t_{к})$ раз и достигает значения
$T^{(1)}(t_{к}) = T_{к} = B(t_{к}) \beta T_{0}$.
Во втором процессе к моменту времени $t_{к}$ чай за счёт теплоотдачи остынет до температуры $T^{ \prime} = B(t_{к})T_{0}$, а затем, после переливания в холодный стакан, его температура уменьшится ещё в $\beta$ раз и станет равной:
$T^{(2)}(t_{к}) = \beta T^{ \prime} = \beta B(t_{к}) T_{0} = T^{(1)}(t_{к}) = T_{к}$.
Таким образом, время остывания чая до нужной температуры в обоих процессах одинаково, то есть чай можно переливать из одного стакана в другой в любой момент времени от $t = 0$ до $t = t_{к}$.
