ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-11-20   
В цилиндрическом сосуде с площадью дна $S$ в воде плавает кусок льда с вмерзшим в него куском свинца массой $m$. На сколько изменится уровень воды в сосуде после таяния льда, если плотность воды $\rho_{0}$, свинца $\rho_{с}$?


Решение:


Уровень воды в сосуде понизится на $\Delta h = \frac{m( \rho_{с} - \rho_{0} )}{ \rho_{0} \rho_{с}S }$

Пусть высота начального уровня воды в сосуде равна $h_{1}$, а после таяния льда - $h_{2}$. Тогда при плавании льда сила давления воды на дно сосуда будет равной

$F_{1} = \rho_{0}Sh_{1}g$. (1)

Когда свинец окажется на дне, сила давления на дно сосуда станет равной

$F_{2} = \rho_{0}Sh_{2}g + F$, (2)

где $F$ - сила давления свинца на дно. Сила эта является равнодействующей силы тяжести свинца и выталкивающей силы со стороны воды, действующей на свинец, т. е.

$F = mg - \rho_{0}V_{с}g = mg - \rho_{0} \frac{m}{ \rho_{с} } g$, (3)

где $V_{с}$ - объем свинца. С учетом (3) выражение (2) примет вид:

$F_{2} = \rho_{0}Sh_{2}g + mg - \rho_{0} \frac{m}{ \rho_{с} }$. (4)

Так как вес содержимого сосуда после таяния льда не изменится, то не изменится и сила давления на дно. Это означает, что $F_{1} = F_{2}$. Приравняв правые части выражений (1) и (4), получим:

$\rho_{0}Sh_{1}g = \rho_{0}Sh_{2}g + mg - \rho_{0} \frac{m}{ \rho_{с} } g$. (5)

Решая уравнение (5) относительно искомого, найдем:

$h_{1} - h_{2} = \Delta h = \frac{m ( \rho - \rho_{0} ) }{ \rho_{0} \rho_{с}S }$.