Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1155
2016-10-20 
В скороварке с закрытым клапаном находится 3 литра воды при температуре $120^{ \circ} C$. Скороварку сняли с плиты и открыли клапан. Сколько воды останется в скороварке после того, как вода перестанет кипеть? Удельные теплота парообразования и теплоёмкость воды соответственно равны $L = 2,2 МДж/кг$ и $C = 4,2 кДж/(кг \cdot ^{ \circ} C)$. Теплоёмкостью стенок скороварки и потерями тепла через них пренебречь.
Решение:
После открывания клапана давление в скороварке упадёт, и вода будет кипеть, остывая при этом от $T_{1} = 120^{ \circ} С$ до $T_{2} = 100^{ \circ} С$. Количество теплоты, необходимое для испарения, будет отниматься от остывающей воды. Пусть за малый промежуток времени испарилась небольшая масса воды $\Delta m_{i}$, а температура воды при этом уменьшилась на $\Delta T_{i}$. Тогда уравнение теплового баланса имеет вид:
$Cm_{i} \Delta T_{i} = L \Delta m_{i}$,
где $m_{i}$ — масса воды, которая была в скороварке при испарении массы $\Delta m_{i}$. Отсюда
$\Delta T_{i} = \frac{L}{C} \cdot \frac{ \Delta m_{i}}{m_{i}}$,
$\Delta T = T_{1} - T_{2} = \frac{L}{C} \sum_{i} \frac{ \Delta m_{i}}{m_{i}}$.
Сумму в последней формуле можно точно вычислить при помощи интегрирования, а можно ограничиться лишь её оценкой. Пусть $M_{0} = 3 кг$ — начальная масса воды в скороварке, $M_{ост}$ — масса воды, оставшейся в скороварке после окончания процесса кипения. Заметим, что $\sum_{i} \Delta m_{i} = M_{0} - M_{ост}$ — масса выкипевшей воды. Тогда
$T_{1} - T_{2} = \frac{L}{C} \sum_{i} \frac{ \Delta m_{i}}{ m_{i}} > \frac{L}{CM_{0}} \sum_{i} \Delta m_{i} = \frac{L}{C} \cdot \frac{M_{0} - M_{ост}}{M_{0}}$,
откуда
$M_{ост} > M_{0} 7\left ( 1 - \frac{C(T_{1}-T_{2})}{L} \right ) \approx 2,886 кг$.
Это нижняя оценка для массы оставшейся в скороварке воды.
Аналогично можно получить для $M_{ост}$ оценку сверху:
$T_{1} - T_{2} = \frac{L}{C} \sum_{i} \frac{ \Delta m_{i}}{m_{i}} < \frac{L}{C} \cdot \frac{ \sum_{i} \Delta m_{i}}{ M_{0} - \sum_{i} \Delta m_{i}} = \frac{L}{C} \cdot \frac{M_{0}-M_{ост}}{M_{ост}}$,
откуда
$M_{ост} < M_{0} \frac{L}{L + C(T_{1}-T_{2})} \approx 2,890 кг$.
Видно, что верхняя и нижняя оценки очень близки. Поэтому можно принять в качестве ответа среднее арифметическое из них: $M_{ост} \approx 2,888 кг$. Следует отметить, что точный ответ $M_{точн} \approx 2,8876 кг$, полученный при помощи интегрирования, отличается от найденной нами величины менее чем на 0,02%.
В скороварке с закрытым клапаном находится 3 литра воды при температуре $120^{ \circ} C$. Скороварку сняли с плиты и открыли клапан. Сколько воды останется в скороварке после того, как вода перестанет кипеть? Удельные теплота парообразования и теплоёмкость воды соответственно равны $L = 2,2 МДж/кг$ и $C = 4,2 кДж/(кг \cdot ^{ \circ} C)$. Теплоёмкостью стенок скороварки и потерями тепла через них пренебречь.
Решение:
После открывания клапана давление в скороварке упадёт, и вода будет кипеть, остывая при этом от $T_{1} = 120^{ \circ} С$ до $T_{2} = 100^{ \circ} С$. Количество теплоты, необходимое для испарения, будет отниматься от остывающей воды. Пусть за малый промежуток времени испарилась небольшая масса воды $\Delta m_{i}$, а температура воды при этом уменьшилась на $\Delta T_{i}$. Тогда уравнение теплового баланса имеет вид:
$Cm_{i} \Delta T_{i} = L \Delta m_{i}$,
где $m_{i}$ — масса воды, которая была в скороварке при испарении массы $\Delta m_{i}$. Отсюда
$\Delta T_{i} = \frac{L}{C} \cdot \frac{ \Delta m_{i}}{m_{i}}$,
$\Delta T = T_{1} - T_{2} = \frac{L}{C} \sum_{i} \frac{ \Delta m_{i}}{m_{i}}$.
Сумму в последней формуле можно точно вычислить при помощи интегрирования, а можно ограничиться лишь её оценкой. Пусть $M_{0} = 3 кг$ — начальная масса воды в скороварке, $M_{ост}$ — масса воды, оставшейся в скороварке после окончания процесса кипения. Заметим, что $\sum_{i} \Delta m_{i} = M_{0} - M_{ост}$ — масса выкипевшей воды. Тогда
$T_{1} - T_{2} = \frac{L}{C} \sum_{i} \frac{ \Delta m_{i}}{ m_{i}} > \frac{L}{CM_{0}} \sum_{i} \Delta m_{i} = \frac{L}{C} \cdot \frac{M_{0} - M_{ост}}{M_{0}}$,
откуда
$M_{ост} > M_{0} 7\left ( 1 - \frac{C(T_{1}-T_{2})}{L} \right ) \approx 2,886 кг$.
Это нижняя оценка для массы оставшейся в скороварке воды.
Аналогично можно получить для $M_{ост}$ оценку сверху:
$T_{1} - T_{2} = \frac{L}{C} \sum_{i} \frac{ \Delta m_{i}}{m_{i}} < \frac{L}{C} \cdot \frac{ \sum_{i} \Delta m_{i}}{ M_{0} - \sum_{i} \Delta m_{i}} = \frac{L}{C} \cdot \frac{M_{0}-M_{ост}}{M_{ост}}$,
откуда
$M_{ост} < M_{0} \frac{L}{L + C(T_{1}-T_{2})} \approx 2,890 кг$.
Видно, что верхняя и нижняя оценки очень близки. Поэтому можно принять в качестве ответа среднее арифметическое из них: $M_{ост} \approx 2,888 кг$. Следует отметить, что точный ответ $M_{точн} \approx 2,8876 кг$, полученный при помощи интегрирования, отличается от найденной нами величины менее чем на 0,02%.
