Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11494
2019-11-17 
Электрон, обладающий малой по сравнению со скоростью света скоростью $\vec{v}$, попадает в область пространства, в которой созданы однородные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля. Напряженность электрического поля равна $\vec{E}$, индукция магнитного - $\vec{B}$, причем в системе СИ $E \ll cB$, где $c$ - скорость света. В начальный момент скорость $\vec{v}$ перпендикулярна векторам $\vec{E}$ и $\vec{B}$.
Как движется электрон в дальнейшем? Существует ли такая скорость движения $\vec{v}_{0}$, при которой траектория электрона прямолинейна?
Опыт происходит в вакууме. Силой тяготения пренебречь.
Решение:
Сила, действующая на электрон со стороны электростатического поля, не зависит от скорости электрона, $F_{e} = eE$, и направлена в сторону, противоположную $\vec{E}$. Сила взаимодействия электрона с магнитным полем (сила Лоренца), $F_{M} = Bev$, направлена вдоль прямой, перпендикулярной к $\vec{B}$ и $\vec{v}$. Следовательно, траектория электрона лежит в плоскости, перпендикулярной $\vec{B}$.
Если начальная скорость электрона такова, что силы $F_{e}$ и $F_{M}$ равны, т. е. $E = Bv_{0}$, и направлены в противоположные стороны (такая скорость при данных $\vec{E}$ и $\vec{B}$ всегда может быть найдена), то сумма сил, действующих на электрон, равна нулю. Электрой движется при этом равномерно и прямолинейно.
Пусть скорость электрона $v$ отлична от $v_{0}$. Рассмотрим поведение электрона в системе отсчета, движущейся поступательно со скоростью $\vec{v}_{0}$. Представим силу Лоренца, действующую на электрон, в виде суммы двух сил: $\vec{F}_{M} = \vec{F}_{0} + \vec{F}$, где $F_{0} = Bev_{0}, F = - Be | \vec{v} - \vec{v}_{0}|$, причем обе силы $\vec{F}_{0}$ и $\vec{F}$ перпендикулярны вектору $\vec{B}$ и векторам $\vec{v}_{0}$ и $\vec{v} - \vec{v}_{0}$ соответственно. Отметим, что скорость $\vec{v} - \vec{v}_{0}$ есть скорость движения электрона относительно выбранной системы отсчета, a $| \vec{v} - \vec{v}_{0}|$ есть длина вектора $\vec{v} -\vec{v}_{0}$.
При этом сумма действующих на электрон сил равна $F$. Так как эта сила постоянна по величине и направлена перпендикулярно вектору $v - v_{0}$, то электрон в выбранной системе отсчета движется по окружности, радиус которой может быть найден из второго закона Ньютона
$Be | \vec{v} - \vec{v}_{0} | = \frac{m}{R} | \vec{v} - \vec{v}_{0} |^{2}$,
где $m$ - масса электрона. Движение по окружности равномерное.
Таким образом, относительно наблюдателя, связанного с неподвижной системой отсчета, электрон участвует в двух движениях: поступательном со скоростью $\vec{v}_{0}$ и равномерном движении по окружности $R = \frac{m}{Be} | \vec{v} - \vec{v}_{0}|$ со скоростью $| \vec{v} - \vec{v}_{0}|$.
Вспомним, что любая точка, принадлежащая цилиндру, который без проскальзывания катится по плоскости, участвует в двух движениях указанного типа. Наверное, вы знаете, что траекториями всех точек такого цилиндра являются циклоиды. Если $v_{0} = v - v_{0}$, т. е. $v = 2v_{0}$, то траектория движения электрона такая же, как и у точки, находящейся на образующей цилиндра.
Если $v_{0} < v < 2v_{0}$, электрон движется но так называемой укороченной циклоиде. По таким траекториям движутся точки, удаленные от оси цилиндра на расстояние, меньшее его радиуса.
Любопытно отметить следующий важный факт. Допустим, что вы неподвижны относительно введенной системы отсчета. При этом, наблюдая за поведением электрона, вы не заметите существования электростатического поля. Реальным для вас будет только поле $\vec{B}$. Этот факт лишний раз подчеркивает единство и неразрывность более общего понятия - понятия элекромагнитного ноля и говорит об относительности его разделения на электрическое и магнитное поля.
Электрон, обладающий малой по сравнению со скоростью света скоростью $\vec{v}$, попадает в область пространства, в которой созданы однородные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля. Напряженность электрического поля равна $\vec{E}$, индукция магнитного - $\vec{B}$, причем в системе СИ $E \ll cB$, где $c$ - скорость света. В начальный момент скорость $\vec{v}$ перпендикулярна векторам $\vec{E}$ и $\vec{B}$.
Как движется электрон в дальнейшем? Существует ли такая скорость движения $\vec{v}_{0}$, при которой траектория электрона прямолинейна?
Опыт происходит в вакууме. Силой тяготения пренебречь.
Решение:
Сила, действующая на электрон со стороны электростатического поля, не зависит от скорости электрона, $F_{e} = eE$, и направлена в сторону, противоположную $\vec{E}$. Сила взаимодействия электрона с магнитным полем (сила Лоренца), $F_{M} = Bev$, направлена вдоль прямой, перпендикулярной к $\vec{B}$ и $\vec{v}$. Следовательно, траектория электрона лежит в плоскости, перпендикулярной $\vec{B}$.
Если начальная скорость электрона такова, что силы $F_{e}$ и $F_{M}$ равны, т. е. $E = Bv_{0}$, и направлены в противоположные стороны (такая скорость при данных $\vec{E}$ и $\vec{B}$ всегда может быть найдена), то сумма сил, действующих на электрон, равна нулю. Электрой движется при этом равномерно и прямолинейно.
Пусть скорость электрона $v$ отлична от $v_{0}$. Рассмотрим поведение электрона в системе отсчета, движущейся поступательно со скоростью $\vec{v}_{0}$. Представим силу Лоренца, действующую на электрон, в виде суммы двух сил: $\vec{F}_{M} = \vec{F}_{0} + \vec{F}$, где $F_{0} = Bev_{0}, F = - Be | \vec{v} - \vec{v}_{0}|$, причем обе силы $\vec{F}_{0}$ и $\vec{F}$ перпендикулярны вектору $\vec{B}$ и векторам $\vec{v}_{0}$ и $\vec{v} - \vec{v}_{0}$ соответственно. Отметим, что скорость $\vec{v} - \vec{v}_{0}$ есть скорость движения электрона относительно выбранной системы отсчета, a $| \vec{v} - \vec{v}_{0}|$ есть длина вектора $\vec{v} -\vec{v}_{0}$.
При этом сумма действующих на электрон сил равна $F$. Так как эта сила постоянна по величине и направлена перпендикулярно вектору $v - v_{0}$, то электрон в выбранной системе отсчета движется по окружности, радиус которой может быть найден из второго закона Ньютона
$Be | \vec{v} - \vec{v}_{0} | = \frac{m}{R} | \vec{v} - \vec{v}_{0} |^{2}$,
где $m$ - масса электрона. Движение по окружности равномерное.
Таким образом, относительно наблюдателя, связанного с неподвижной системой отсчета, электрон участвует в двух движениях: поступательном со скоростью $\vec{v}_{0}$ и равномерном движении по окружности $R = \frac{m}{Be} | \vec{v} - \vec{v}_{0}|$ со скоростью $| \vec{v} - \vec{v}_{0}|$.
Вспомним, что любая точка, принадлежащая цилиндру, который без проскальзывания катится по плоскости, участвует в двух движениях указанного типа. Наверное, вы знаете, что траекториями всех точек такого цилиндра являются циклоиды. Если $v_{0} = v - v_{0}$, т. е. $v = 2v_{0}$, то траектория движения электрона такая же, как и у точки, находящейся на образующей цилиндра.
Если $v_{0} < v < 2v_{0}$, электрон движется но так называемой укороченной циклоиде. По таким траекториям движутся точки, удаленные от оси цилиндра на расстояние, меньшее его радиуса.
Любопытно отметить следующий важный факт. Допустим, что вы неподвижны относительно введенной системы отсчета. При этом, наблюдая за поведением электрона, вы не заметите существования электростатического поля. Реальным для вас будет только поле $\vec{B}$. Этот факт лишний раз подчеркивает единство и неразрывность более общего понятия - понятия элекромагнитного ноля и говорит об относительности его разделения на электрическое и магнитное поля.
