Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11493
2019-11-17 
По двум длинным параллельным рельсам, расположенным в горизонтальной плоскости на расстоянии $l$ друг от друга, скользит без трения металлический стержень массой $m$. В одном конце рельсы через сопротивление $R$ соединены с источником питания, э. д. с. которого равна $e$. Внутреннее сопротивление источника питания, а также сопротивления стержня и рельсов пренебрежимо малы по сравнению с $R$. Перпендикулярно к горизонтальной плоскости (см. рис. а) приложено однородное магнитное поле; ключ находится в положении 1, стержень при этом скользит с постоянной скоростью $v_{0}$. В некоторый момент времени ключ К переводят в положение 2.
Что происходит со стержнем в дальнейшем?
1. Прекратится ли когда-нибудь его движение? Если да, то когда именно?
2. На какое расстояние он передвинется?
3. Какой заряд протечет через сопротивление $R$ за все время движения стержня?
4. Выполняется ли закон сохранения энергии в данном случае? Подтвердите свой ответ расчетом.
Решение:
Рассмотрим сначала процесс, происходящий при первом положении ключа К. Это позволит нам определить величину индукции магнитного поля $B$.
При равномерном движении стержня в замкнутом контуре возбуждается постоянная электродвижущая сила индукции, равная по величине скорости изменения магнитного потока через контур, т. е.
$e_{инд} = \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t } = lBv_{0}$.
Текущий в контуре ток определяется на основании закона Ома
$e - e_{инд} = I_{0}R$. (1)
Кроме того, известно, что мощность источника питания равна мощности тепловых потерь на сопротивлении $R$ (это следует из закона сохранения энергии), т. е.
$eI_{0} = I_{0}^{2}R$. (2)
Уравнения (1) и (2) позволяют определить величину $B$ и ток $I_{0}$ в контуре. Уравнение (2) имеет два корня: $I_{01} = 0$ и $I_{02} = e/R$. Подставляя эти значения в (1), убеждаемся, что при условии $v_{0} \neq 0$ и $B \neq 0$ нам подходит только корень $I_{01} = 0$ (второй корень соответствует случаю, когда стержень неподвижен или ноле отсутствует). Следовательно,
$B = \frac{e}{lv_{0}}$. (3)
Пусть ключ переведен в положение 2. При этом отключается источник питания. Тогда по закону Ома
$e_{инд} = IR$, (4)
т. е. в начальный момент в контуре практически мгновенно возникает ток $I$ такой, что
$I = \frac{e_{инд}}{R} = \frac{lBv_{0}}{R} = \frac{e}{R} = I_{02}$. (5)
При этом на стержень начинает действовать со стороны магнитного поля сила, направленная в сторону, противоположную движению стержня (убедитесь в справедливости этого утверждения при любом направлении магнитного поля $B$, применяя правило левой руки). Скорость стержня падает и рано или поздно должна обратиться в нуль. Так как при этом ток в контуре исчезнет, то в дальнейшем стержень будет оставаться неподвижным.
Примем, что переброс ключа сделан в момент времени $t = 0$, и рассмотрим процесс в некий произвольный момент времени $t_{i}$. Пусть в этот момент скорость стержня равна $v_{i}$, ускорение - $a_{i}$, ток в контуре - $I_{i}$. Указанные величины связаны друг с другом, во-первых, законом Ома
$I_{i}R = lBv_{i}$, (6)
и, во-вторых, вторым законом Ньютона
$F_{i} = ma_{i} = lBI_{i}$. (7)
Из уравнений (6) и (7) определим связь между скоростью и ускорением стержня в момент времени $t_{i}$ (любой)
$v_{i} = \frac{mRa_{i}}{(IB)^{2}}$. (8)
Отсюда видно, что ускорение тем меньше, чем меньше скорость, т. е. с течением времени стержень замедляется все в меньшей и меньшей степени. Поэтому можно ожидать что движение стержня продолжается немалое время.
Рассмотрим интервал времени $\Delta t_{i}$ вблизи момента $t_{i}$ (см. рис. б) настолько малый, чтобы можно было считать, что $a_{i} = \frac{ | \Delta v_{i} |}{ \Delta t}$, где $\Delta v_{i}$ - изменение скорости в течение интервала $\Delta t_{i}$. При этом из (8) находим, что
$\Delta S_{i} = v_{i} \Delta t_{i} = mR \frac{ | \Delta v_{i} |}{(lN)^{2}}$, (9)
где $\Delta S_{i}$ - путь, пройденный стержнем за время $\Delta t_{i}$. Для определения всего расстояния, на которое переместился стержень, нужно найти сумму всех отрезков $\Delta S_{i}$ от начала движения до момента остановки $T$:
$S = \sum_{i} \Delta S_{i} = \sum_{t = 0}^{t = T} v_{i} \Delta t_{i}$.
Соотношение (9) позволяет ту же величину получить другим способом: найти сумму величин $mR \frac{ | \Delta v_{i} |}{(lB)^{2}}$ от начала движения (когда скорость равна $v_{0}$) до момента остановки, т. е.
$S = \frac{mR}{(lB)^{2} } \sum_{v = v_{0} }^{v = 0} | \Delta v_{i} | = \frac{mRv_{0} }{(lB)^{2} } = \frac{mRv_{0}^{2} }{e^{2} }$. (10)
Таким образом, нам удалось вычислить перемещение стержня, не определяя времени его движения.
Еще интереснее, что соотношение (9) позволит определить и время движения $T$. Перепишем (9) в виде
$\left | \frac{ \Delta v_{i}}{v_{i}} \right | = (lB)^{2} \frac{ \Delta t_{i}}{mR}$. (11)
Смысл последнего выражения можно понимать так: за равные интервалы времени $\Delta t_{i}$ скорость изменяется в одно и то же число раз, независимо от того, какой именно момент времени мы рассматриваем. Подберем величину $\Delta t$ так, чтобы за зто время скорость изменялась, например, вдвое (при этом $\Delta t$ совсем не обязано быть малым). Тогда за время $2 \Delta t$ скорость изменится вчетверо, за время $n \Delta t$ - в $2^{n}$ раз, и т. д. К любому, сколь угодно большому, но конечному моменту времени скорость будет иметь малое, но конечное значение. Следовательно, в нашей идеализированной задаче стержень движется неограниченное время (не забывайте при этом, что для очень далеких моментов времени от начала движения скорость стержня становится ничтожной).
Перейдем к ответу на третий вопрос задачи. Из соотношения (6) следует, что ток в контуре и скорость стержня пропорциональны:
$I_{i} = kv_{i}, k = \frac{lB}{R} = const$. (12)
Следовательно, и изменяются эти величины пропорционально друг другу, т. е.
$\Delta I_{i} = k \Delta v_{i}$, (13)
где $\Delta I_{i}$ и $\Delta v_{i}$ - изменения тока и скорости за один и тот же интервал времени. Подставляя последнее соотношение в формулу (9), получаем, что
$I_{i} \Delta t_{i} = mR \frac{| \Delta I_{i} |}{(lB)^{2}}$. (14)
Для нахождения величины заряда $q$, прошедшего через сопротивление $R$, применим уже использованный прием суммирования:
$q = \sum_{t = 0}^{t = T \rightarrow \infty} I_{i} \Delta t_{i} = \frac{mR}{(lB)^{2} } \sum_{I = I_{01} }^{I = 0} | \Delta I_{i} | = \frac{mRI_{02} }{(lB)^{2} } = \frac{mv_{0}^{2} }{e}$. (15)
Проверим выполнение закона сохранения энергии. В процессе движения стержня уменьшается (до нуля) его кинетическая энергия и рассеивается тепло на сопротивлении $R$. Количество тепла $Q$, следовательно, должно быть равно начальной кинетической энергии стержня $T_{0} = mv_{0}^{2}/2$.
За малый интервал времени $\Delta t_{i}$ вблизи момента $t_{i}$ кинетическая энергия стержня изменяется на величину
$\Delta T_{i} = \frac{mv_{i}^{2}}{2} - \frac{m(v_{i} + \Delta v_{i})^{2}}{2} \approx - mv_{i} \Delta v_{i}$ (16)
(мы пренебрегли величиной $(\Delta v_{i})^{2}$ по сравнению с величиной $v_{i} \Delta v_{i}$).
За тот же интервал времени на сопротивлении рассеивается тепловая энергия, величина которой определяется законом Джоуля-Ленца, $\Delta Q_{i} = I_{i}^{2}R \Delta t_{i}$. Подставив в это выражение значения величин $I_{i}$ и $I_{i} \Delta t_{i}$ из формул (12)-(14), найдем, что $\Delta Q_{i} = I_{i} (I_{i} \Delta t_{i} ) R = mv_{i} | \Delta v_{i} |$, а эта величина совпадает с величиной $| \Delta T_{i} |$ из равенства (16), что и требовалось доказать.
По двум длинным параллельным рельсам, расположенным в горизонтальной плоскости на расстоянии $l$ друг от друга, скользит без трения металлический стержень массой $m$. В одном конце рельсы через сопротивление $R$ соединены с источником питания, э. д. с. которого равна $e$. Внутреннее сопротивление источника питания, а также сопротивления стержня и рельсов пренебрежимо малы по сравнению с $R$. Перпендикулярно к горизонтальной плоскости (см. рис. а) приложено однородное магнитное поле; ключ находится в положении 1, стержень при этом скользит с постоянной скоростью $v_{0}$. В некоторый момент времени ключ К переводят в положение 2.
Что происходит со стержнем в дальнейшем?
1. Прекратится ли когда-нибудь его движение? Если да, то когда именно?
2. На какое расстояние он передвинется?
3. Какой заряд протечет через сопротивление $R$ за все время движения стержня?
4. Выполняется ли закон сохранения энергии в данном случае? Подтвердите свой ответ расчетом.
Решение:
Рассмотрим сначала процесс, происходящий при первом положении ключа К. Это позволит нам определить величину индукции магнитного поля $B$.
При равномерном движении стержня в замкнутом контуре возбуждается постоянная электродвижущая сила индукции, равная по величине скорости изменения магнитного потока через контур, т. е.
$e_{инд} = \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t } = lBv_{0}$.
Текущий в контуре ток определяется на основании закона Ома
$e - e_{инд} = I_{0}R$. (1)
Кроме того, известно, что мощность источника питания равна мощности тепловых потерь на сопротивлении $R$ (это следует из закона сохранения энергии), т. е.
$eI_{0} = I_{0}^{2}R$. (2)
Уравнения (1) и (2) позволяют определить величину $B$ и ток $I_{0}$ в контуре. Уравнение (2) имеет два корня: $I_{01} = 0$ и $I_{02} = e/R$. Подставляя эти значения в (1), убеждаемся, что при условии $v_{0} \neq 0$ и $B \neq 0$ нам подходит только корень $I_{01} = 0$ (второй корень соответствует случаю, когда стержень неподвижен или ноле отсутствует). Следовательно,
$B = \frac{e}{lv_{0}}$. (3)
Пусть ключ переведен в положение 2. При этом отключается источник питания. Тогда по закону Ома
$e_{инд} = IR$, (4)
т. е. в начальный момент в контуре практически мгновенно возникает ток $I$ такой, что
$I = \frac{e_{инд}}{R} = \frac{lBv_{0}}{R} = \frac{e}{R} = I_{02}$. (5)
При этом на стержень начинает действовать со стороны магнитного поля сила, направленная в сторону, противоположную движению стержня (убедитесь в справедливости этого утверждения при любом направлении магнитного поля $B$, применяя правило левой руки). Скорость стержня падает и рано или поздно должна обратиться в нуль. Так как при этом ток в контуре исчезнет, то в дальнейшем стержень будет оставаться неподвижным.
Примем, что переброс ключа сделан в момент времени $t = 0$, и рассмотрим процесс в некий произвольный момент времени $t_{i}$. Пусть в этот момент скорость стержня равна $v_{i}$, ускорение - $a_{i}$, ток в контуре - $I_{i}$. Указанные величины связаны друг с другом, во-первых, законом Ома
$I_{i}R = lBv_{i}$, (6)
и, во-вторых, вторым законом Ньютона
$F_{i} = ma_{i} = lBI_{i}$. (7)
Из уравнений (6) и (7) определим связь между скоростью и ускорением стержня в момент времени $t_{i}$ (любой)
$v_{i} = \frac{mRa_{i}}{(IB)^{2}}$. (8)
Отсюда видно, что ускорение тем меньше, чем меньше скорость, т. е. с течением времени стержень замедляется все в меньшей и меньшей степени. Поэтому можно ожидать что движение стержня продолжается немалое время.
Рассмотрим интервал времени $\Delta t_{i}$ вблизи момента $t_{i}$ (см. рис. б) настолько малый, чтобы можно было считать, что $a_{i} = \frac{ | \Delta v_{i} |}{ \Delta t}$, где $\Delta v_{i}$ - изменение скорости в течение интервала $\Delta t_{i}$. При этом из (8) находим, что
$\Delta S_{i} = v_{i} \Delta t_{i} = mR \frac{ | \Delta v_{i} |}{(lN)^{2}}$, (9)
где $\Delta S_{i}$ - путь, пройденный стержнем за время $\Delta t_{i}$. Для определения всего расстояния, на которое переместился стержень, нужно найти сумму всех отрезков $\Delta S_{i}$ от начала движения до момента остановки $T$:
$S = \sum_{i} \Delta S_{i} = \sum_{t = 0}^{t = T} v_{i} \Delta t_{i}$.
Соотношение (9) позволяет ту же величину получить другим способом: найти сумму величин $mR \frac{ | \Delta v_{i} |}{(lB)^{2}}$ от начала движения (когда скорость равна $v_{0}$) до момента остановки, т. е.
$S = \frac{mR}{(lB)^{2} } \sum_{v = v_{0} }^{v = 0} | \Delta v_{i} | = \frac{mRv_{0} }{(lB)^{2} } = \frac{mRv_{0}^{2} }{e^{2} }$. (10)
Таким образом, нам удалось вычислить перемещение стержня, не определяя времени его движения.
Еще интереснее, что соотношение (9) позволит определить и время движения $T$. Перепишем (9) в виде
$\left | \frac{ \Delta v_{i}}{v_{i}} \right | = (lB)^{2} \frac{ \Delta t_{i}}{mR}$. (11)
Смысл последнего выражения можно понимать так: за равные интервалы времени $\Delta t_{i}$ скорость изменяется в одно и то же число раз, независимо от того, какой именно момент времени мы рассматриваем. Подберем величину $\Delta t$ так, чтобы за зто время скорость изменялась, например, вдвое (при этом $\Delta t$ совсем не обязано быть малым). Тогда за время $2 \Delta t$ скорость изменится вчетверо, за время $n \Delta t$ - в $2^{n}$ раз, и т. д. К любому, сколь угодно большому, но конечному моменту времени скорость будет иметь малое, но конечное значение. Следовательно, в нашей идеализированной задаче стержень движется неограниченное время (не забывайте при этом, что для очень далеких моментов времени от начала движения скорость стержня становится ничтожной).
Перейдем к ответу на третий вопрос задачи. Из соотношения (6) следует, что ток в контуре и скорость стержня пропорциональны:
$I_{i} = kv_{i}, k = \frac{lB}{R} = const$. (12)
Следовательно, и изменяются эти величины пропорционально друг другу, т. е.
$\Delta I_{i} = k \Delta v_{i}$, (13)
где $\Delta I_{i}$ и $\Delta v_{i}$ - изменения тока и скорости за один и тот же интервал времени. Подставляя последнее соотношение в формулу (9), получаем, что
$I_{i} \Delta t_{i} = mR \frac{| \Delta I_{i} |}{(lB)^{2}}$. (14)
Для нахождения величины заряда $q$, прошедшего через сопротивление $R$, применим уже использованный прием суммирования:
$q = \sum_{t = 0}^{t = T \rightarrow \infty} I_{i} \Delta t_{i} = \frac{mR}{(lB)^{2} } \sum_{I = I_{01} }^{I = 0} | \Delta I_{i} | = \frac{mRI_{02} }{(lB)^{2} } = \frac{mv_{0}^{2} }{e}$. (15)
Проверим выполнение закона сохранения энергии. В процессе движения стержня уменьшается (до нуля) его кинетическая энергия и рассеивается тепло на сопротивлении $R$. Количество тепла $Q$, следовательно, должно быть равно начальной кинетической энергии стержня $T_{0} = mv_{0}^{2}/2$.
За малый интервал времени $\Delta t_{i}$ вблизи момента $t_{i}$ кинетическая энергия стержня изменяется на величину
$\Delta T_{i} = \frac{mv_{i}^{2}}{2} - \frac{m(v_{i} + \Delta v_{i})^{2}}{2} \approx - mv_{i} \Delta v_{i}$ (16)
(мы пренебрегли величиной $(\Delta v_{i})^{2}$ по сравнению с величиной $v_{i} \Delta v_{i}$).
За тот же интервал времени на сопротивлении рассеивается тепловая энергия, величина которой определяется законом Джоуля-Ленца, $\Delta Q_{i} = I_{i}^{2}R \Delta t_{i}$. Подставив в это выражение значения величин $I_{i}$ и $I_{i} \Delta t_{i}$ из формул (12)-(14), найдем, что $\Delta Q_{i} = I_{i} (I_{i} \Delta t_{i} ) R = mv_{i} | \Delta v_{i} |$, а эта величина совпадает с величиной $| \Delta T_{i} |$ из равенства (16), что и требовалось доказать.
