Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11490
2019-11-17 
В некоторой лабораторной установке прибор, находящийся внутри цилиндра высокого давления, требует постоянного по мощности подогрева. Однако во время опыта меняется давление, что с неизбежностью вызывает некоторое изменение сопротивления любой проволоки, используемой в качестве нагревателя. Простая схема, приведенная на рисунке, позволяет обеспечить постоянную мощность. На рисунке $R$ обозначает сопротивление нагревательного элемента, меняющееся в течение опыта, $R_{1}$ и $R_{2}$ - резисторы, находящиеся вне цилиндра и потому имеющие неизменное сопротивление, $U$ - постоянное напряжение питания.
Выясните, почему удается достичь постоянной мощности подогрева и какое для этого необходимо соотношение между величинами $R, R_{1}$ и $R_{2}$.
Решение:
Исследуем зависимость мощности $N(R)$, выделяющейся на сопротивлении $R$, при постоянных $R_{1}$ и $R_{2}$. При $R = 0$ $N = 0$, так как напряжение равно нулю, а величина тока ограничена наличием сопротивления $R_{1}$. При $R \rightarrow \infty$ $N \rightarrow 0$, так как ток равен нулю, а величина напряжения ограничена.
Очевидно также, что для всех $R$ таких, что $0 < R < \infty$, величина $N(R)$ положительна. Следовательно, функция $N(R)$ имеет по крайней мере один максимум в области положительных (т. е. имеющих физический смысл) значений $R$. В окрестности максимума (см. задачу 11374) изменения $N$ весьма малы даже при заметных изменениях $R$.
Найдем зависимость $N$ от $R$. Полный ток $I$ от источника $U$ определяется законом Ома:
$I = \frac{U}{R_{1} + \frac{R_{2}R}{R_{2} + R}}$.
Через сопротивление $R$ проходит ток $\frac{IR_{2}}{R_{2} + R}$, и, следовательно,
$N = \left ( \frac{R_{2} }{R_{2} + R } I \right )^{2} R = \frac{U^{2}R_{2}^{2}R }{(R_{2} + R )^{2} \left ( R_{1} + \frac{R_{2}R }{R_{2} + R } \right )^{2} }$.
Представим результат в виде
$N = \frac{U^{2}}{ \frac{2R_{1}^{2} }{R_{2} } + 2R_{1} + \frac{R_{1}^{2} }{R} + \left ( \frac{R_{1}^{2} }{R_{2}^{2} } + \frac{2R_{1} }{R_{2} } + 1 \right )R}$.
Максимум дроби соответствует минимуму двух последних слагаемых знаменателя ($U, R_{1}, R_{2}$ - const), которые зависят от $R$. Так как
$\frac{R_{1}^{2} }{R} + \left ( \frac{R_{1} }{R_{2} } + 1 \right )^{2} R = \frac{R_{1}(R_{1} + R_{2} ) }{R_{2} } \left ( \frac{R_{1}R_{2} }{(R_{1} + R_{2} )R} + \frac{(R_{1} + R_{2} )R}{R_{1}R_{2} } \right )$,
то искомый максимум имеет место при $R = \frac{R_{1}R_{2}}{R_{1} + R_{2} }$) (см. задачу 11378).
В некоторой лабораторной установке прибор, находящийся внутри цилиндра высокого давления, требует постоянного по мощности подогрева. Однако во время опыта меняется давление, что с неизбежностью вызывает некоторое изменение сопротивления любой проволоки, используемой в качестве нагревателя. Простая схема, приведенная на рисунке, позволяет обеспечить постоянную мощность. На рисунке $R$ обозначает сопротивление нагревательного элемента, меняющееся в течение опыта, $R_{1}$ и $R_{2}$ - резисторы, находящиеся вне цилиндра и потому имеющие неизменное сопротивление, $U$ - постоянное напряжение питания.
Выясните, почему удается достичь постоянной мощности подогрева и какое для этого необходимо соотношение между величинами $R, R_{1}$ и $R_{2}$.
Решение:
Исследуем зависимость мощности $N(R)$, выделяющейся на сопротивлении $R$, при постоянных $R_{1}$ и $R_{2}$. При $R = 0$ $N = 0$, так как напряжение равно нулю, а величина тока ограничена наличием сопротивления $R_{1}$. При $R \rightarrow \infty$ $N \rightarrow 0$, так как ток равен нулю, а величина напряжения ограничена.
Очевидно также, что для всех $R$ таких, что $0 < R < \infty$, величина $N(R)$ положительна. Следовательно, функция $N(R)$ имеет по крайней мере один максимум в области положительных (т. е. имеющих физический смысл) значений $R$. В окрестности максимума (см. задачу 11374) изменения $N$ весьма малы даже при заметных изменениях $R$.
Найдем зависимость $N$ от $R$. Полный ток $I$ от источника $U$ определяется законом Ома:
$I = \frac{U}{R_{1} + \frac{R_{2}R}{R_{2} + R}}$.
Через сопротивление $R$ проходит ток $\frac{IR_{2}}{R_{2} + R}$, и, следовательно,
$N = \left ( \frac{R_{2} }{R_{2} + R } I \right )^{2} R = \frac{U^{2}R_{2}^{2}R }{(R_{2} + R )^{2} \left ( R_{1} + \frac{R_{2}R }{R_{2} + R } \right )^{2} }$.
Представим результат в виде
$N = \frac{U^{2}}{ \frac{2R_{1}^{2} }{R_{2} } + 2R_{1} + \frac{R_{1}^{2} }{R} + \left ( \frac{R_{1}^{2} }{R_{2}^{2} } + \frac{2R_{1} }{R_{2} } + 1 \right )R}$.
Максимум дроби соответствует минимуму двух последних слагаемых знаменателя ($U, R_{1}, R_{2}$ - const), которые зависят от $R$. Так как
$\frac{R_{1}^{2} }{R} + \left ( \frac{R_{1} }{R_{2} } + 1 \right )^{2} R = \frac{R_{1}(R_{1} + R_{2} ) }{R_{2} } \left ( \frac{R_{1}R_{2} }{(R_{1} + R_{2} )R} + \frac{(R_{1} + R_{2} )R}{R_{1}R_{2} } \right )$,
то искомый максимум имеет место при $R = \frac{R_{1}R_{2}}{R_{1} + R_{2} }$) (см. задачу 11378).
