Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11486
2019-11-17 
Из сопротивлений $R_{1}, R_{2}, \cdots, R_{n}$ собрана некоторая электрическая схема. Точно такую же по структуре схему собирают из конденсаторов $C_{1}, C_{2}, \cdots, C_{n}$, причем емкости конденсаторов подбирают так, что $C_{1}R_{1} = C_{2}R_{2} = \cdots = C_{n}R_{n} = k$, а элементы $C_{i}$ и $R_{i}$ с одинаковыми порядковыми номерами занимают в соответствующих схемах одинаковые положения. Измерения показали, что емкость второй схемы между входными зажимами равна $C$.
Определить сопротивление $R$ первой схемы между аналогичными точками.
Решение:
1-й способ. Если вторую схему подключить входными зажимами к источнику переменного тока, то каждый из конденсаторов $C_{i}$ окажет этому току сопротивление, пропорциональное величине $1/C_{i}$ (коэффициентом пропорциональности является величина $T/2 \pi$, где $T$ - период синусоидального тока). Общее сопротивление схемы переменному току можно подсчитать при этом, используя формулы, применяемые для расчета сопротивлений разветвленных цепей постоянному току, причем величина этого общего сопротивления пропорциональна $1/C$, где $C$ - общая емкость схемы (коэффициентом пропорциональности также является величина $T/2 \pi$). Следовательно, $R = k/C$.
2-й способ. Пусть каждая схема включена в цепь с источником постоянного напряжения. Выделим в схемах одинаковые блоки (см. рис. а, б). На основании закона сохранения заряда $q_{i} + q_{l} + q_{m} = 0, I_{i} + I_{l} + I_{m} = 0$, где $q_{i}, q_{l}, q_{m}$ - заряды на обкладках конденсаторов $C_{i}, C_{l}, C_{m}$ на пластинах, прилегающих к точке A; $I_{i}, I_{l}, I_{m}$ - токи через сопротивления $R_{i}, R_{l}, R_{m}$ (токи, идущие в направлении узла А, условимся считать положительными). В общем случае, если в некотором узле соединены несколько конденсаторов (или сопротивлений), то
$\sum q_{i} = 0, \sim I_{i} = 0$, (1)
где суммирование проводится по всем элементам, соединенным в узле.
Рассмотрим еще один тип участка схем - любой замкнутый контур (рис. в, г). Вследствие потенциальности электрического поля $U_{p} + U_{r} + U_{q} = 0$ для обоих контуров, где $U_{p}, U_{r}, U_{q}$ -падения напряжений на элементах с номерами $p, r$ и $q$. И вообще для любого замкнутого контура работа перемещения заряда вдоль контура равна пулю, т. е.
$\sum U_{p} = 0$, (2)
суммирование производится по всем элементам, из которых состоит замкнутый контур.
Для первой схемы напряжение $U_{i}$ и ток $I_{i}$ через любое сопротивление связаны законом Ома:
$R_{i} = \frac{U_{i}}{I_{i}}$. (3)
Для второй схемы напряжение и величина заряда связаны соотношением
$\frac{1}{C_{i}} = \frac{U_{i}^{(1)}}{q_{i}}$. (4)
Сравнивая уравнения (1) - (4), нетрудно заметить, что они отличаются друг от друга только постоянными коэффициентами $R_{i}$ и $1/C_{i}$ перед неизвестными величинами ($U_{i}, I_{i}$ - для первой схемы, $U_{i}^{(1)}, q_{i}$ - для второй).
Допустим, что для второй схемы нам удалось определить все неизвестные - заряды и напряжения на конденсаторах $q_{i}$ и $U_{i}^{(1)}$. Тогда очевидно, что в первой схеме $\frac{U_{i} }{I_{i}} = C_{i}R_{i}U_{i}^{(1)}q_{i}$.
Последнее соотношение применимо ко всем элементам обеих схем. В частности, его можно применить к элементам, находящимся у входных зажимов схем. Следовательно,
$R = \frac{U}{I} = \frac{C_{i}R_{i}U^{(1)}}{q} = \frac{C_{i}R_{i}}{C} = \frac{k}{C}$.
При расчете токов и напряжений на элементах первой схемы мы используем закон сохранения заряда, потенциальность электростатического поля, закон Ома, которые записываются в виде системы уравнений (1) - (3).
Получим важное следствие из этих уравнений. Все сказанное в дальнейшем применимо и ко второй схеме, если везде вместо слова "ток" подставить слово "заряд".
Приложим к входным зажимам напряжение $U^{(1)}$ и определим токи $I_{i}^{(1)}$ и напряжения $U_{i}^{(1)}$ на всех элементах схемы. Затем определим такие же величины $I_{2}^{(2)}$ и $U_{i}^{(2)}$, если к входным зажимам приложено напряжение $U^{(2)}$.
Докажем, что если к входным зажимам приложить напряжение $U^{(1)} + U^{(2)}$, то токи и напряжения на элементах схемы окажутся равными соответственно $I_{i}^{(1)} + I_{i}^{(2)}$ и $U_{i}^{(1)} + U_{i}^{(2)}$.
Для доказательства достаточно проверить, что условия теоремы не противоречат указанным основным законам.
Из очевидных равенств
$\sum (I_{i}^{(1)} + I_{i}^{(2)} ) = \sum I_{i}^{(1)} + \sum I_{i}^{(2)} = 0$,
$\sum (U_{i}^{(1)} + U_{i}^{(2)} ) = \sum U_{i}^{(1)} + \sum U_{i}^{(2)} = 0$,
$\frac{U_{i}^{(1)} + U_{i}^{(2)} }{I_{i}^{(1)} + I_{i}^{(2)} } = \frac{R_{i}I_{i}^{(1)} + R_{i}I_{i}^{(2)} }{ I_{i}^{(1)} + I_{i}^{(2)} } = R_{i}$,
следует, что этих противоречий нет, и теорема доказана.
Содержание теоремы кратко можно сформулировать следующим образом: электрические схемы для постоянного тока подчиняются принципу суперпозиции.
Из сопротивлений $R_{1}, R_{2}, \cdots, R_{n}$ собрана некоторая электрическая схема. Точно такую же по структуре схему собирают из конденсаторов $C_{1}, C_{2}, \cdots, C_{n}$, причем емкости конденсаторов подбирают так, что $C_{1}R_{1} = C_{2}R_{2} = \cdots = C_{n}R_{n} = k$, а элементы $C_{i}$ и $R_{i}$ с одинаковыми порядковыми номерами занимают в соответствующих схемах одинаковые положения. Измерения показали, что емкость второй схемы между входными зажимами равна $C$.
Определить сопротивление $R$ первой схемы между аналогичными точками.
Решение:
1-й способ. Если вторую схему подключить входными зажимами к источнику переменного тока, то каждый из конденсаторов $C_{i}$ окажет этому току сопротивление, пропорциональное величине $1/C_{i}$ (коэффициентом пропорциональности является величина $T/2 \pi$, где $T$ - период синусоидального тока). Общее сопротивление схемы переменному току можно подсчитать при этом, используя формулы, применяемые для расчета сопротивлений разветвленных цепей постоянному току, причем величина этого общего сопротивления пропорциональна $1/C$, где $C$ - общая емкость схемы (коэффициентом пропорциональности также является величина $T/2 \pi$). Следовательно, $R = k/C$.
2-й способ. Пусть каждая схема включена в цепь с источником постоянного напряжения. Выделим в схемах одинаковые блоки (см. рис. а, б). На основании закона сохранения заряда $q_{i} + q_{l} + q_{m} = 0, I_{i} + I_{l} + I_{m} = 0$, где $q_{i}, q_{l}, q_{m}$ - заряды на обкладках конденсаторов $C_{i}, C_{l}, C_{m}$ на пластинах, прилегающих к точке A; $I_{i}, I_{l}, I_{m}$ - токи через сопротивления $R_{i}, R_{l}, R_{m}$ (токи, идущие в направлении узла А, условимся считать положительными). В общем случае, если в некотором узле соединены несколько конденсаторов (или сопротивлений), то
$\sum q_{i} = 0, \sim I_{i} = 0$, (1)
где суммирование проводится по всем элементам, соединенным в узле.
Рассмотрим еще один тип участка схем - любой замкнутый контур (рис. в, г). Вследствие потенциальности электрического поля $U_{p} + U_{r} + U_{q} = 0$ для обоих контуров, где $U_{p}, U_{r}, U_{q}$ -падения напряжений на элементах с номерами $p, r$ и $q$. И вообще для любого замкнутого контура работа перемещения заряда вдоль контура равна пулю, т. е.
$\sum U_{p} = 0$, (2)
суммирование производится по всем элементам, из которых состоит замкнутый контур.
Для первой схемы напряжение $U_{i}$ и ток $I_{i}$ через любое сопротивление связаны законом Ома:
$R_{i} = \frac{U_{i}}{I_{i}}$. (3)
Для второй схемы напряжение и величина заряда связаны соотношением
$\frac{1}{C_{i}} = \frac{U_{i}^{(1)}}{q_{i}}$. (4)
Сравнивая уравнения (1) - (4), нетрудно заметить, что они отличаются друг от друга только постоянными коэффициентами $R_{i}$ и $1/C_{i}$ перед неизвестными величинами ($U_{i}, I_{i}$ - для первой схемы, $U_{i}^{(1)}, q_{i}$ - для второй).
Допустим, что для второй схемы нам удалось определить все неизвестные - заряды и напряжения на конденсаторах $q_{i}$ и $U_{i}^{(1)}$. Тогда очевидно, что в первой схеме $\frac{U_{i} }{I_{i}} = C_{i}R_{i}U_{i}^{(1)}q_{i}$.
Последнее соотношение применимо ко всем элементам обеих схем. В частности, его можно применить к элементам, находящимся у входных зажимов схем. Следовательно,
$R = \frac{U}{I} = \frac{C_{i}R_{i}U^{(1)}}{q} = \frac{C_{i}R_{i}}{C} = \frac{k}{C}$.
При расчете токов и напряжений на элементах первой схемы мы используем закон сохранения заряда, потенциальность электростатического поля, закон Ома, которые записываются в виде системы уравнений (1) - (3).
Получим важное следствие из этих уравнений. Все сказанное в дальнейшем применимо и ко второй схеме, если везде вместо слова "ток" подставить слово "заряд".
Приложим к входным зажимам напряжение $U^{(1)}$ и определим токи $I_{i}^{(1)}$ и напряжения $U_{i}^{(1)}$ на всех элементах схемы. Затем определим такие же величины $I_{2}^{(2)}$ и $U_{i}^{(2)}$, если к входным зажимам приложено напряжение $U^{(2)}$.
Докажем, что если к входным зажимам приложить напряжение $U^{(1)} + U^{(2)}$, то токи и напряжения на элементах схемы окажутся равными соответственно $I_{i}^{(1)} + I_{i}^{(2)}$ и $U_{i}^{(1)} + U_{i}^{(2)}$.
Для доказательства достаточно проверить, что условия теоремы не противоречат указанным основным законам.
Из очевидных равенств
$\sum (I_{i}^{(1)} + I_{i}^{(2)} ) = \sum I_{i}^{(1)} + \sum I_{i}^{(2)} = 0$,
$\sum (U_{i}^{(1)} + U_{i}^{(2)} ) = \sum U_{i}^{(1)} + \sum U_{i}^{(2)} = 0$,
$\frac{U_{i}^{(1)} + U_{i}^{(2)} }{I_{i}^{(1)} + I_{i}^{(2)} } = \frac{R_{i}I_{i}^{(1)} + R_{i}I_{i}^{(2)} }{ I_{i}^{(1)} + I_{i}^{(2)} } = R_{i}$,
следует, что этих противоречий нет, и теорема доказана.
Содержание теоремы кратко можно сформулировать следующим образом: электрические схемы для постоянного тока подчиняются принципу суперпозиции.
