Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11484
2019-11-17 
Известно, что вольтметр должен обладать большим внутренним сопротивлением. Обычно это обосновывают тем, что в противном случае часть тока, протекавшего ранее через участок цепи, напряжение на котором измеряется, ответвится в вольтметр, и режим участка изменится. Следствием такого объяснения является требование, чтобы сопротивление вольтметра было велико сравнительно с сопротивлением исследуемого участка.
Согласны ли вы с этим?
Решение:
С приведенными рассуждениями согласиться нельзя. Никакого разветвления первоначального тока не происходит. В действительности ход событий выглядит так: подключение вольтметра приводит к уменьшению сопротивления участка цепи, что вызывает увеличение тока от источника; при этом увеличивается падение напряжения на внутреннем сопротивлении источника и, следодательно, уменьшается падение напряжения на исследуемом участке. Чтобы этого избежать, надо подбирать вольтметр, сопротивление которого велико по сравнению с внутренним сопротивлением источника. Подтвердим это расчетом.
Любую сколь угодно сложную схему с точки зрения режима сопротивления $R$ можно представить себе следующим образом: отключим сопротивление $R$ от схемы; между теми точками, где оно было подключено раньше, существуют какое-то сопротивление $r$ и какая-то разность потенциалов $U$; эту разность потенциалов можно рассматривать как э. д. с., а $r$ - как внутреннее сопротивление источника э. д. с., подключенного к сопротивлению. Эквивалентная схема изображена на рисунке.
Итак, сопротивление $R$ подключено к источнику с э. д. с., равной $e$, и внутренним сопротивлением $r$. В отсутствие вольтметра ток через $R$ равен $I = \frac{e}{r + R}$, а падение напряжения на клеммах АВ $U = IR = \frac{eR}{r + R}$.
При подключении к клеммам АВ вольтметра с внутренним сопротивлением $R_{0}$ ток $I^{ \prime}$ через источник и падение напряжения на клеммах АВ изменятся до значений
$I^{ \prime} = \frac{e}{r + \frac{RR_{0} }{R + R_{0} } }$;
$U^{ \prime} = \frac{e}{r + \frac{RR_{0} }{R + R_{0} } } \frac{RR_{0} }{ R + R_{0} }$.
Именно величину $U^{ \prime}$ и показывает вольтметр.
Вычислим относительную погрешность измерения, т. е. величину
$\frac{U - U^{ \prime}}{U} = \frac{ \Delta U}{U} = 1 - \frac{1 + \frac{r}{R} }{1 + r \frac{R + R_{0} }{RR_{0} } }$.
Оценим величину этой погрешности для различных соотношений между $r, R$ и $R_{0}$.
1. $r \ll R_{0} \approx R$, тогда
$\frac{ \Delta U}{U} \approx 1 - \frac{1 + \frac{r}{R} }{1 + \frac{2r}{R}} \approx 1 - \left ( 1 + \frac{r}{R} \right ) \left ( 1 - 2 \frac{r}{R} \right ) \approx \frac{r}{R} \approx \frac{r}{R_{0} }$.
(Здесь и дальше используются формулы приближенных вычислений, приведенные в примечании к задаче 11467.)
Таким образом, чем больше сопротивление вольтметра сравнительно с внутренним сопротивлением источника, тем меньше погрешность.
2. $r \ll R_{0} \ll R$, т. е. сопротивление вольтметра совершенно не удовлетворяет требованиям, изложенным в условиях задачи. Тем не менее (учитывая, что неравенство $r \ll R_{0} \ll R$ дает право пренебречь отношением $r/R$ сравнительно с единицей как величиной второго порядка малости) получаем, что
$\frac{ \Delta U}{U} \approx 1 - \frac{1}{1 + r \frac{R + R_{0} }{RR_{0} } } \approx \frac{r(R + R_{0} )}{RR_{0} } \approx \frac{r}{R_{0} }$,
т. е. опять важна лишь величина отношения $r/R_{0}$.
Известно, что вольтметр должен обладать большим внутренним сопротивлением. Обычно это обосновывают тем, что в противном случае часть тока, протекавшего ранее через участок цепи, напряжение на котором измеряется, ответвится в вольтметр, и режим участка изменится. Следствием такого объяснения является требование, чтобы сопротивление вольтметра было велико сравнительно с сопротивлением исследуемого участка.
Согласны ли вы с этим?
Решение:
С приведенными рассуждениями согласиться нельзя. Никакого разветвления первоначального тока не происходит. В действительности ход событий выглядит так: подключение вольтметра приводит к уменьшению сопротивления участка цепи, что вызывает увеличение тока от источника; при этом увеличивается падение напряжения на внутреннем сопротивлении источника и, следодательно, уменьшается падение напряжения на исследуемом участке. Чтобы этого избежать, надо подбирать вольтметр, сопротивление которого велико по сравнению с внутренним сопротивлением источника. Подтвердим это расчетом.
Любую сколь угодно сложную схему с точки зрения режима сопротивления $R$ можно представить себе следующим образом: отключим сопротивление $R$ от схемы; между теми точками, где оно было подключено раньше, существуют какое-то сопротивление $r$ и какая-то разность потенциалов $U$; эту разность потенциалов можно рассматривать как э. д. с., а $r$ - как внутреннее сопротивление источника э. д. с., подключенного к сопротивлению. Эквивалентная схема изображена на рисунке.
Итак, сопротивление $R$ подключено к источнику с э. д. с., равной $e$, и внутренним сопротивлением $r$. В отсутствие вольтметра ток через $R$ равен $I = \frac{e}{r + R}$, а падение напряжения на клеммах АВ $U = IR = \frac{eR}{r + R}$.
При подключении к клеммам АВ вольтметра с внутренним сопротивлением $R_{0}$ ток $I^{ \prime}$ через источник и падение напряжения на клеммах АВ изменятся до значений
$I^{ \prime} = \frac{e}{r + \frac{RR_{0} }{R + R_{0} } }$;
$U^{ \prime} = \frac{e}{r + \frac{RR_{0} }{R + R_{0} } } \frac{RR_{0} }{ R + R_{0} }$.
Именно величину $U^{ \prime}$ и показывает вольтметр.
Вычислим относительную погрешность измерения, т. е. величину
$\frac{U - U^{ \prime}}{U} = \frac{ \Delta U}{U} = 1 - \frac{1 + \frac{r}{R} }{1 + r \frac{R + R_{0} }{RR_{0} } }$.
Оценим величину этой погрешности для различных соотношений между $r, R$ и $R_{0}$.
1. $r \ll R_{0} \approx R$, тогда
$\frac{ \Delta U}{U} \approx 1 - \frac{1 + \frac{r}{R} }{1 + \frac{2r}{R}} \approx 1 - \left ( 1 + \frac{r}{R} \right ) \left ( 1 - 2 \frac{r}{R} \right ) \approx \frac{r}{R} \approx \frac{r}{R_{0} }$.
(Здесь и дальше используются формулы приближенных вычислений, приведенные в примечании к задаче 11467.)
Таким образом, чем больше сопротивление вольтметра сравнительно с внутренним сопротивлением источника, тем меньше погрешность.
2. $r \ll R_{0} \ll R$, т. е. сопротивление вольтметра совершенно не удовлетворяет требованиям, изложенным в условиях задачи. Тем не менее (учитывая, что неравенство $r \ll R_{0} \ll R$ дает право пренебречь отношением $r/R$ сравнительно с единицей как величиной второго порядка малости) получаем, что
$\frac{ \Delta U}{U} \approx 1 - \frac{1}{1 + r \frac{R + R_{0} }{RR_{0} } } \approx \frac{r(R + R_{0} )}{RR_{0} } \approx \frac{r}{R_{0} }$,
т. е. опять важна лишь величина отношения $r/R_{0}$.
