Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11479
2019-11-17 
По сфере с радиусом $R$, составленной из двух полусфер, равномерно распределен заряд $q$. Определить давление изнутри на поверхность сферы, обусловленное взаимодействием зарядов. С какой силой необходимо действовать на каждую полусферу, чтобы они не расходились? Какой заряд нужно поместить в центре сферы, чтобы она находилась в равновесии?
Решение:
Для решения задачи воспользуемся методом, который мы уже применяли в механике (см. задачу 11406) и в молекулярной физике (см. задачу 11443): подсчитаем работу, которую нужно выполнить, чтобы (мысленно) уменьшить на малую величину объем сферы, и результат, применяя закон сохранения энергии, сравним с изменением потенциальной энергии сферы.
Если искомое давление равно $p$, то, чтобы сжать сферу на малый объем $\Delta V$ (со всех сторон равномерно), нужно выполнить работу
$\Delta A = p \Delta V = 4 \pi p \frac{R^{3} - (R - \Delta R)^{3}}{3} \approx 4 \pi R^{2} p \Delta R$, (1)
где $\Delta R$ - изменение радиуса сферы.
При этом потенциальная энергия заряда на сфере изменится на величину (см. задачи 109, 122)
$\Delta U = - \frac{q^{2} }{2R} - \left( - \frac{q^{2} }{2 (R - \Delta R) } \right ) \approx \frac{q^{2} }{2R^{2}} \Delta R$. (2)
Тогда из равенства $\Delta A = \Delta U$ находим, что
$p = \frac{q^{2}}{8 \pi R^{4}}$. (3)
Для ответа на второй вопрос задачи воспользуемся аналогичным приемом. Пусть полусферы разошлись на столь малое расстояние $\Delta x$, что ни давление, ни распределение зарядов на них не изменились. При этом за счет взаимодействия зарядов произведена работа $\Delta A_{1} = p \Delta V_{1} = p \pi R^{2} \Delta x$ (см. рис. а). Эту же работу можно подсчитать по формуле $\Delta A_{1} = F \Delta x$, где $F$ - искомая сила отталкивания полусфер. Следовательно, с учетом соотношения (3)
$F = \pi R^{2}p = \frac{q^{2}}{8R^{2}}$. (4)
Перейдем к последнему вопросу. Поместим в центр сферы произвольный заряд $q_{0}$. Сила, действующая со стороны этого заряда на малую площадку $\Delta S$ заряженной сферы, может быть найдена по закону Кулона:
$\Delta F = \frac{q_{0} \Delta S \sigma}{R^{2}} = \frac{q_{0} \Delta Sq}{4 \pi R^{4}}$, (5)
где $\sigma$ - плотность заряда на сфере. Очевидно, что если эта сила $\Delta F$ есть сила "давления на сферу снаружи" и равна по величине силе давления за счет взаимодействия зарядов на сфере, т. е. $\Delta F = = - \Delta Sp$, то сфера находится в равновесии.
Таким образом, из (3) и (5) следует, что искомый заряд имеет величину
$q_{0} = - \frac{q}{2}$. (6)
Обсудим еще один способ решения этой задачи. Поместим в центр сферы произвольный заряд $q_{0}$, выделим на сфере малый участок $\Delta S$ и подберем величину заряда $q_{0}$ таким образом, чтобы силы взаимодействия заряда $\Delta q = \sigma \Delta S = \frac{q \Delta S}{4 \pi R^{2}}$ на выделенном участке с зарядом $q_{0} ( \Delta \vec{F}_{1})$ и с зарядом на оставшейся части сферы $q_{0}( \Delta \vec{F}_{2})$ компенсировали друг друга.
Указанные силы можно определить из выражений
$\Delta F_{1} = \frac{q_{0} \Delta q}{R^{2}}, \Delta F_{2} = \Delta qE^{ \prime}$, (7)
где $\vec{E}^{ \prime}$ - напряженность поля, создаваемого заряженной сферой без участка $\Delta S$ в том месте, где расположен этот участок. Напряженности поля $\Delta \vec{E}_{1}$ и $\Delta \vec{E}_{2}$, создаваемого самим участком вблизи его поверхности, равны друг другу по величине (рис. б).
Представим поле целой сферы как суперпозицию полей с напряженностями $\vec{E}^{ \prime}, \Delta \vec{E}_{1}$ и $\Delta \vec{E}_{2}$. Так как поле вне сферы равно по величине $q/R^{2}$, а внутри сферы отсутствует, то $E^{ \prime} + \Delta E_{1} = \frac{q}{R^{2}}, \vec{E}^{ \prime} + \Delta \vec{E}_{2} = 0$, откуда
$\Delta E_{1} = \Delta E_{2} = E^{ \prime} = \frac{q}{2R^{2}}$. (8)
Подставляя выражение (8) в равенство $\Delta F_{1} = \Delta F_{2}$ и учитывая соотношения (7), приходим к формуле (6).
Изложенный метод приводит к верному результату. Однако в процессе решения используется неочевидное утверждение, которое на первый взгляд трудно заметить.
Поясним это подробнее. Сформулируем требования, которые были предъявлены к размерам участка $\Delta S$. Во-первых, этот участок должен быть настолько мал, чтобы по отношению к остальной части сферы его можно было считать точечным зарядом и пользоваться второй из формул (7). Но, во-вторых, участок должен быть достаточно велик, чтобы при учете его взаимодействия с оставшейся частью сферы можно было пренебречь краевыми эффектами. То, что эти требования не противоречивы, не очевидно и нуждается в доказательстве (аналогичную ситуацию внимательный читатель заметит в задаче 11413).
Первый способ решения в этом смысле проще.
По сфере с радиусом $R$, составленной из двух полусфер, равномерно распределен заряд $q$. Определить давление изнутри на поверхность сферы, обусловленное взаимодействием зарядов. С какой силой необходимо действовать на каждую полусферу, чтобы они не расходились? Какой заряд нужно поместить в центре сферы, чтобы она находилась в равновесии?
Решение:
Для решения задачи воспользуемся методом, который мы уже применяли в механике (см. задачу 11406) и в молекулярной физике (см. задачу 11443): подсчитаем работу, которую нужно выполнить, чтобы (мысленно) уменьшить на малую величину объем сферы, и результат, применяя закон сохранения энергии, сравним с изменением потенциальной энергии сферы.
Если искомое давление равно $p$, то, чтобы сжать сферу на малый объем $\Delta V$ (со всех сторон равномерно), нужно выполнить работу
$\Delta A = p \Delta V = 4 \pi p \frac{R^{3} - (R - \Delta R)^{3}}{3} \approx 4 \pi R^{2} p \Delta R$, (1)
где $\Delta R$ - изменение радиуса сферы.
При этом потенциальная энергия заряда на сфере изменится на величину (см. задачи 109, 122)
$\Delta U = - \frac{q^{2} }{2R} - \left( - \frac{q^{2} }{2 (R - \Delta R) } \right ) \approx \frac{q^{2} }{2R^{2}} \Delta R$. (2)
Тогда из равенства $\Delta A = \Delta U$ находим, что
$p = \frac{q^{2}}{8 \pi R^{4}}$. (3)
Для ответа на второй вопрос задачи воспользуемся аналогичным приемом. Пусть полусферы разошлись на столь малое расстояние $\Delta x$, что ни давление, ни распределение зарядов на них не изменились. При этом за счет взаимодействия зарядов произведена работа $\Delta A_{1} = p \Delta V_{1} = p \pi R^{2} \Delta x$ (см. рис. а). Эту же работу можно подсчитать по формуле $\Delta A_{1} = F \Delta x$, где $F$ - искомая сила отталкивания полусфер. Следовательно, с учетом соотношения (3)
$F = \pi R^{2}p = \frac{q^{2}}{8R^{2}}$. (4)
Перейдем к последнему вопросу. Поместим в центр сферы произвольный заряд $q_{0}$. Сила, действующая со стороны этого заряда на малую площадку $\Delta S$ заряженной сферы, может быть найдена по закону Кулона:
$\Delta F = \frac{q_{0} \Delta S \sigma}{R^{2}} = \frac{q_{0} \Delta Sq}{4 \pi R^{4}}$, (5)
где $\sigma$ - плотность заряда на сфере. Очевидно, что если эта сила $\Delta F$ есть сила "давления на сферу снаружи" и равна по величине силе давления за счет взаимодействия зарядов на сфере, т. е. $\Delta F = = - \Delta Sp$, то сфера находится в равновесии.
Таким образом, из (3) и (5) следует, что искомый заряд имеет величину
$q_{0} = - \frac{q}{2}$. (6)
Обсудим еще один способ решения этой задачи. Поместим в центр сферы произвольный заряд $q_{0}$, выделим на сфере малый участок $\Delta S$ и подберем величину заряда $q_{0}$ таким образом, чтобы силы взаимодействия заряда $\Delta q = \sigma \Delta S = \frac{q \Delta S}{4 \pi R^{2}}$ на выделенном участке с зарядом $q_{0} ( \Delta \vec{F}_{1})$ и с зарядом на оставшейся части сферы $q_{0}( \Delta \vec{F}_{2})$ компенсировали друг друга.
Указанные силы можно определить из выражений
$\Delta F_{1} = \frac{q_{0} \Delta q}{R^{2}}, \Delta F_{2} = \Delta qE^{ \prime}$, (7)
где $\vec{E}^{ \prime}$ - напряженность поля, создаваемого заряженной сферой без участка $\Delta S$ в том месте, где расположен этот участок. Напряженности поля $\Delta \vec{E}_{1}$ и $\Delta \vec{E}_{2}$, создаваемого самим участком вблизи его поверхности, равны друг другу по величине (рис. б).
Представим поле целой сферы как суперпозицию полей с напряженностями $\vec{E}^{ \prime}, \Delta \vec{E}_{1}$ и $\Delta \vec{E}_{2}$. Так как поле вне сферы равно по величине $q/R^{2}$, а внутри сферы отсутствует, то $E^{ \prime} + \Delta E_{1} = \frac{q}{R^{2}}, \vec{E}^{ \prime} + \Delta \vec{E}_{2} = 0$, откуда
$\Delta E_{1} = \Delta E_{2} = E^{ \prime} = \frac{q}{2R^{2}}$. (8)
Подставляя выражение (8) в равенство $\Delta F_{1} = \Delta F_{2}$ и учитывая соотношения (7), приходим к формуле (6).
Изложенный метод приводит к верному результату. Однако в процессе решения используется неочевидное утверждение, которое на первый взгляд трудно заметить.
Поясним это подробнее. Сформулируем требования, которые были предъявлены к размерам участка $\Delta S$. Во-первых, этот участок должен быть настолько мал, чтобы по отношению к остальной части сферы его можно было считать точечным зарядом и пользоваться второй из формул (7). Но, во-вторых, участок должен быть достаточно велик, чтобы при учете его взаимодействия с оставшейся частью сферы можно было пренебречь краевыми эффектами. То, что эти требования не противоречивы, не очевидно и нуждается в доказательстве (аналогичную ситуацию внимательный читатель заметит в задаче 11413).
Первый способ решения в этом смысле проще.
