Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11474
2019-11-17 
Доказать, что в поле двух разноименных точечных зарядов эквипотенциальная поверхность с нулевым потенциалом представляет собой сферу.
Решение:
Поместим начало координат в точку, где расположен один из зарядов, и направим ось $Ox$ в сторону другого заряда (см. рисунок). Потенциал $\phi_{A}$ в точке А таков, что
$\phi_{A} = \frac{q_{1}}{r_{1}} + \frac{q_{2}}{r_{2}}$. (1)
Пусть $\phi_{A} = 0$ (если точка А не лежит в бесконечности, то это возможно лить для разноименных зарядов). Учтем, что $r_{1} = \sqrt{x^{2} + y^{2} }, r_{2} = \sqrt{ (d - x)^{2} + y^{2} }$, где $d$ - расстояние между зарядами. Тогда из (1) следует, что
$\frac{q_{1}}{ \sqrt{x^{2} + y^{2}}} = - \frac{q_{2} }{ \sqrt{(d - x )^{2} - y^{2} } }$. (2)
После возведения равенства (2) в квадрат и простейших преобразований находим, что
$\left ( x - \frac{n^{2} }{n^{2} - 1 } d \right )^{2} + y^{2} = \frac{n^{2}d^{2} }{(n^{2} - 1 )^{2} }$,
где $n = \frac{q_{1}}{q_{2}}, n \neq -1, n < 0$.
Полученное выражение представляет собой уравнение окружности (см. задачу 11379), центр которой расположен в точке с координатами $x = \frac{dn^{2}}{n^{2} - 1}, y = 0$.
При $n = - 1$, т. е. $q_{1} = - q_{2}$, преобразование соотношения (2) дает уравнение $x = \frac{d}{2}$, т. е. эквипотенциальная окружность вырождается в прямую, параллельную оси ординат.
Так как поле симметрично относительно оси абсцисс, в пространстве поверхность нулевого потенциала оказывается сферой (или плоскостью, если $n = -1$).
Доказать, что в поле двух разноименных точечных зарядов эквипотенциальная поверхность с нулевым потенциалом представляет собой сферу.
Решение:
Поместим начало координат в точку, где расположен один из зарядов, и направим ось $Ox$ в сторону другого заряда (см. рисунок). Потенциал $\phi_{A}$ в точке А таков, что
$\phi_{A} = \frac{q_{1}}{r_{1}} + \frac{q_{2}}{r_{2}}$. (1)
Пусть $\phi_{A} = 0$ (если точка А не лежит в бесконечности, то это возможно лить для разноименных зарядов). Учтем, что $r_{1} = \sqrt{x^{2} + y^{2} }, r_{2} = \sqrt{ (d - x)^{2} + y^{2} }$, где $d$ - расстояние между зарядами. Тогда из (1) следует, что
$\frac{q_{1}}{ \sqrt{x^{2} + y^{2}}} = - \frac{q_{2} }{ \sqrt{(d - x )^{2} - y^{2} } }$. (2)
После возведения равенства (2) в квадрат и простейших преобразований находим, что
$\left ( x - \frac{n^{2} }{n^{2} - 1 } d \right )^{2} + y^{2} = \frac{n^{2}d^{2} }{(n^{2} - 1 )^{2} }$,
где $n = \frac{q_{1}}{q_{2}}, n \neq -1, n < 0$.
Полученное выражение представляет собой уравнение окружности (см. задачу 11379), центр которой расположен в точке с координатами $x = \frac{dn^{2}}{n^{2} - 1}, y = 0$.
При $n = - 1$, т. е. $q_{1} = - q_{2}$, преобразование соотношения (2) дает уравнение $x = \frac{d}{2}$, т. е. эквипотенциальная окружность вырождается в прямую, параллельную оси ординат.
Так как поле симметрично относительно оси абсцисс, в пространстве поверхность нулевого потенциала оказывается сферой (или плоскостью, если $n = -1$).
