Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11469
2019-11-17 
Металлические шарики радиусом $R$ и $r$ ($R \gg r$) заряжены одноименными зарядами $Q$ и $q$ соответственно ($Q \gg q$). Оценить, на каком расстоянии шарики будут притягиваться друг к другу.
Решение:
Необходимо прежде всего разобраться, почему в принципе между одноименно заряженными телами возможно взаимное притяжение (гравитационное взаимодействие в этой задаче мы не учитываем).
а) В задаче 11467 уже объяснялась причина взаимного притяжения заряженного тела А и незаряженного тела В. Пусть сила этого притяжения равна $F_{1}$. Всегда можно подобрать малый заряд $q$, одноименный с зарядом тела А так, что сила $F_{2}$ отталкивания $q$ от заряда А при расстоянии между ними, равном АВ, удовлетворяет соотношению $| F_{1} | \gg | F_{2} |$. Поместив заряд $q$ на тело В, мы получим два одноименно заряженных тела А и В, сила взаимодействия между которыми приблизительно равна $F_{1} - F_{2}$ и является, следовательно, силой притяжения (условие. $| F_{1} | \gg | F_{2} |$ наложено для того, чтобы получить малое значение $q$ и иметь право пренебречь перераспределением заряда $Q$ на теле А после помещения на тело В заряда $q$).
б) В условиях настоящей задачи ($R \gg r$) притяжение тел А и В может иметь и другую причину. Если расстояние $l$ между центрами шаров таково, что $R \gg l - R$ (см. рисунок). Взаимодействие заряда $q$ (на шарике $r$) с шаром $R$ вызовет появление на последнем индуцированных зарядов. Так как $R \gg l - R$ и $R \gg r$, то расположенную против шарика $r$ часть поверхности шара $R$ можно приблизительно считать плоской и использовать результаты задачи 11468. В силу тех же неравенств заряд $Q$ можно считать сосредоточенным в центре шара $R$ (не следует забывать, что нашей целью является оценка, но не строгий расчет). Имеем $\frac{Qq}{l^{2}} < \frac{q^{2}}{4} (l - R)^{2}$. Решая это неравенство с учетом соотношений $Q \gg q; R \approx l - R$, находим, что (см. примечание к задаче 109)
$1 - \frac{ \sqrt{ \frac{q}{Q}}}{2} < \frac{R}{l} < 1 + \frac{ \sqrt{ \frac{q}{Q}}}{2}$,
а так как $\frac{R}{l} > 0$, то
$1 + \frac{ \sqrt{ \frac{q}{Q} } }{2} > \frac{l}{R} > 1 - \frac{ \sqrt{ \frac{q}{Q} } }{2}$.
Из геометрических соображений следует, что должно также выполняться неравенство $l < R + r$. Последние два соотношения совместимы, лишь когда $r/R > \frac{ \sqrt{ \frac{q}{Q} } }{2}$. В противном случае выполненная нами оценка несправедлива, что, однако, не исключает возможности взаимного притяжения шаров $R$ и $r$ уже за счет.причин, рассмотренных в пункте а).
Металлические шарики радиусом $R$ и $r$ ($R \gg r$) заряжены одноименными зарядами $Q$ и $q$ соответственно ($Q \gg q$). Оценить, на каком расстоянии шарики будут притягиваться друг к другу.
Решение:
Необходимо прежде всего разобраться, почему в принципе между одноименно заряженными телами возможно взаимное притяжение (гравитационное взаимодействие в этой задаче мы не учитываем).
а) В задаче 11467 уже объяснялась причина взаимного притяжения заряженного тела А и незаряженного тела В. Пусть сила этого притяжения равна $F_{1}$. Всегда можно подобрать малый заряд $q$, одноименный с зарядом тела А так, что сила $F_{2}$ отталкивания $q$ от заряда А при расстоянии между ними, равном АВ, удовлетворяет соотношению $| F_{1} | \gg | F_{2} |$. Поместив заряд $q$ на тело В, мы получим два одноименно заряженных тела А и В, сила взаимодействия между которыми приблизительно равна $F_{1} - F_{2}$ и является, следовательно, силой притяжения (условие. $| F_{1} | \gg | F_{2} |$ наложено для того, чтобы получить малое значение $q$ и иметь право пренебречь перераспределением заряда $Q$ на теле А после помещения на тело В заряда $q$).
б) В условиях настоящей задачи ($R \gg r$) притяжение тел А и В может иметь и другую причину. Если расстояние $l$ между центрами шаров таково, что $R \gg l - R$ (см. рисунок). Взаимодействие заряда $q$ (на шарике $r$) с шаром $R$ вызовет появление на последнем индуцированных зарядов. Так как $R \gg l - R$ и $R \gg r$, то расположенную против шарика $r$ часть поверхности шара $R$ можно приблизительно считать плоской и использовать результаты задачи 11468. В силу тех же неравенств заряд $Q$ можно считать сосредоточенным в центре шара $R$ (не следует забывать, что нашей целью является оценка, но не строгий расчет). Имеем $\frac{Qq}{l^{2}} < \frac{q^{2}}{4} (l - R)^{2}$. Решая это неравенство с учетом соотношений $Q \gg q; R \approx l - R$, находим, что (см. примечание к задаче 109)
$1 - \frac{ \sqrt{ \frac{q}{Q}}}{2} < \frac{R}{l} < 1 + \frac{ \sqrt{ \frac{q}{Q}}}{2}$,
а так как $\frac{R}{l} > 0$, то
$1 + \frac{ \sqrt{ \frac{q}{Q} } }{2} > \frac{l}{R} > 1 - \frac{ \sqrt{ \frac{q}{Q} } }{2}$.
Из геометрических соображений следует, что должно также выполняться неравенство $l < R + r$. Последние два соотношения совместимы, лишь когда $r/R > \frac{ \sqrt{ \frac{q}{Q} } }{2}$. В противном случае выполненная нами оценка несправедлива, что, однако, не исключает возможности взаимного притяжения шаров $R$ и $r$ уже за счет.причин, рассмотренных в пункте а).
