Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11467
2019-11-17 
Точечный заряд определяют как заряженное тело, размеры и форма которого не влияют на его электростатическое взаимодействие с другими заряженными телами в рамках заданной точности. Поясним эту формулировку. Вычислим силу, действующую на исследуемый заряд со стороны окружающих зарядов двумя способами: а) полагая заряд на теле сосредоточенным в одной (любой) точке этого тела или б) находя истинное распределение заряда по телу и учитывая это в расчете. Пусть соответствующие значения сил равны $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$. Тогда, если отношение $\left | \frac{F_{1} - F_{2}}{F_{2}} \right |$ меньше заданной относительной погрешности вычислений при любом выборе точки сосредоточения заряда внутри тела и то же справедливо для угла между векторами $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$, наше заряженное тело есть точечный заряд.
В качестве иллюстрации к данному определению требуется оценить относительную погрешность вычисления силы взаимодействия двух заряженных шариков с одинаковыми радиусами, возникающую при замене шариков точечными зарядами.
Решение:
Рассмотрим два проводящих шарика радиусом $r$ каждый, центры которых расположены на расстоянии $R$ друг от друга, а заряды одинаковы по величине и положительны (см. рисунок). В результате электростатической индукции эти заряды переместятся к внешней стороне каждого шарика.
Не будь такого перераспределения зарядов, два однородно заряженных шарика взаимодействовали бы так же, как если бы заряд каждого из них был сосредоточен в его центре (что имеет место при гравитационном взаимодействии двух шаров независимо от их радиусов и расстояния между ними). Без учета индукции сила кулоновского взаимодействия шариков определяется выражением $F_{1} = \frac{q^{2}}{R^{2}}$. Истинная сила взаимодействия $F$ отличается от величины $F_{1}$. Очевидно, нижнюю границу $F_{2}$ для силы $F$ можно найти, положив, что заряды шариков сосредоточены в наиболее удаленных друг от друга точках, т. е. $F_{2} = \frac{q^{2}}{(R + 2r)^{2}}$.
Максимально возможную относительную погрешность находим из соотношения
$\frac{F_{1} - F_{2} }{F_{2} } = \frac{ \frac{1}{R^{2} } - \frac{1}{(R + 2r)^{2} } }{ \frac{1}{ (R + 2r)^{2} } }$.
Пусть $r \ll R$. Тогда (см. примечание) $\frac{F_{1} - F_{2}}{F_{2}} \approx \frac{4r}{R}$.
Итак, если требуемая точность расчета составляет 1%, то точечными можно считать лишь заряды, сосредоточенные на телах, линейные размеры которых составляют 0,5 % от расстояния между телами.
Заметим, что величина погрешности определена нами с запасом, так как очевидно, что заряды шариков не могут быть сосредоточены в самых удаленных друг от друга точках.
Примечание. В ряде задач данного сборника использованы некоторые простейшие формулы приближенных вычислений, известные, к сожалению, не всем школьникам. Эти формулы базируются на следующем общем утверждении (доказательство его справедливости выходит за рамки наших возможностей): для любых вещественных $m$ и таких вещественных $x$, что $| x | < 1$, справедливо равенство
$(1 + x)^{m} = 1 + \frac{m}{1}x + \frac{m(m - 1)}{1 \cdot 2}x^{2} + \cdots$
В случае, когда $| x | \ll 1$, а $m$ порядка единицы (наиболее часто встречающаяся в физических задачах ситуация), в бесконечной сумме можно ограничиться первыми двумя слагаемыми, т. е. пренебречь членами, содержащими $x^{2}, x^{3}$ и т, д, (Если $| x | \ll 1$, тем более $x^{2} \ll 1$ и т. д.) Тогда получаем приближенное, но очень простое соотношение $(1 + x)^{m} \approx 1 + mx$, выполняющееся тем точнее, чем строже выполняется неравенство $| x | \ll 1$.
Последняя формула, в частности, дает
$(1 + x)^{2} \approx 1 + 2x$,
$\frac{1}{1 + x} = (1 + x)^{-1} \approx 1 - x$,
$\sqrt{1 + x} = \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2}$ и т. д.
Если в тексте задачи или в процессе решения встречаются две одноименные величины $a$ и $A$ такие, что $| a | < A$ (или $\left | \frac{a}{A} \right | \ll 1$), приведенные формулы могут существенно упростить вычисления. Вносимая при этом в результат относительная погрешность приблизительно равна $\frac{a^{2}}{A^{2}}$.
Например:
$\frac{A + a}{A - a} = \frac{1 + \frac{a}{A} }{1 - \frac{a}{A} } \approx \left ( 1 + \frac{a}{A} \right ) \left ( 1 + \frac{a}{A} \right ) = \left ( 1 + \frac{a}{A} \right )^{2} \approx 1 + \frac{2a}{A}$.
Для наглядности: если $A = 100, a = 1$, значение дроби $\frac{A + a}{A - a}$, вычисленное приближенным способом, составит 1,02, точное же значение равно 1,020202...
Иногда говорят: "Но если $| x | \ll 1$, не следует ли пренебречь и самим $x$ сравнительно с 1?" Что же, не исключено и такое. Но при этом $x$ может исчезнуть в конечном результате, что, разумеется, недопустимо, если требуется найти как раз влияние величины $x$ на этот результат. (К примеру, правые части всех приведенных выше формул обратятся в 1, и станет неизвестно, как значение $x$ влияет на величину выражений вида $\frac{1}{1 + x}$ или ($\sqrt{1 + x}$).
В данной задаче результат был получен после следующих преобразований:
$\frac{ \frac{1}{R^{2}} - \frac{1}{(R+2r)^{2}}}{ \frac{1}{(R + 2r)^{2}} } = \left ( \frac{R + 2r}{R} \right )^{2} - 1 = \left ( 1 + \frac{2r}{R} \right )^{2} - 1 \approx 1 + \frac{4r}{R} - 1 = \frac{4r}{R}$.
Точечный заряд определяют как заряженное тело, размеры и форма которого не влияют на его электростатическое взаимодействие с другими заряженными телами в рамках заданной точности. Поясним эту формулировку. Вычислим силу, действующую на исследуемый заряд со стороны окружающих зарядов двумя способами: а) полагая заряд на теле сосредоточенным в одной (любой) точке этого тела или б) находя истинное распределение заряда по телу и учитывая это в расчете. Пусть соответствующие значения сил равны $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$. Тогда, если отношение $\left | \frac{F_{1} - F_{2}}{F_{2}} \right |$ меньше заданной относительной погрешности вычислений при любом выборе точки сосредоточения заряда внутри тела и то же справедливо для угла между векторами $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$, наше заряженное тело есть точечный заряд.
В качестве иллюстрации к данному определению требуется оценить относительную погрешность вычисления силы взаимодействия двух заряженных шариков с одинаковыми радиусами, возникающую при замене шариков точечными зарядами.
Решение:
Рассмотрим два проводящих шарика радиусом $r$ каждый, центры которых расположены на расстоянии $R$ друг от друга, а заряды одинаковы по величине и положительны (см. рисунок). В результате электростатической индукции эти заряды переместятся к внешней стороне каждого шарика.
Не будь такого перераспределения зарядов, два однородно заряженных шарика взаимодействовали бы так же, как если бы заряд каждого из них был сосредоточен в его центре (что имеет место при гравитационном взаимодействии двух шаров независимо от их радиусов и расстояния между ними). Без учета индукции сила кулоновского взаимодействия шариков определяется выражением $F_{1} = \frac{q^{2}}{R^{2}}$. Истинная сила взаимодействия $F$ отличается от величины $F_{1}$. Очевидно, нижнюю границу $F_{2}$ для силы $F$ можно найти, положив, что заряды шариков сосредоточены в наиболее удаленных друг от друга точках, т. е. $F_{2} = \frac{q^{2}}{(R + 2r)^{2}}$.
Максимально возможную относительную погрешность находим из соотношения
$\frac{F_{1} - F_{2} }{F_{2} } = \frac{ \frac{1}{R^{2} } - \frac{1}{(R + 2r)^{2} } }{ \frac{1}{ (R + 2r)^{2} } }$.
Пусть $r \ll R$. Тогда (см. примечание) $\frac{F_{1} - F_{2}}{F_{2}} \approx \frac{4r}{R}$.
Итак, если требуемая точность расчета составляет 1%, то точечными можно считать лишь заряды, сосредоточенные на телах, линейные размеры которых составляют 0,5 % от расстояния между телами.
Заметим, что величина погрешности определена нами с запасом, так как очевидно, что заряды шариков не могут быть сосредоточены в самых удаленных друг от друга точках.
Примечание. В ряде задач данного сборника использованы некоторые простейшие формулы приближенных вычислений, известные, к сожалению, не всем школьникам. Эти формулы базируются на следующем общем утверждении (доказательство его справедливости выходит за рамки наших возможностей): для любых вещественных $m$ и таких вещественных $x$, что $| x | < 1$, справедливо равенство
$(1 + x)^{m} = 1 + \frac{m}{1}x + \frac{m(m - 1)}{1 \cdot 2}x^{2} + \cdots$
В случае, когда $| x | \ll 1$, а $m$ порядка единицы (наиболее часто встречающаяся в физических задачах ситуация), в бесконечной сумме можно ограничиться первыми двумя слагаемыми, т. е. пренебречь членами, содержащими $x^{2}, x^{3}$ и т, д, (Если $| x | \ll 1$, тем более $x^{2} \ll 1$ и т. д.) Тогда получаем приближенное, но очень простое соотношение $(1 + x)^{m} \approx 1 + mx$, выполняющееся тем точнее, чем строже выполняется неравенство $| x | \ll 1$.
Последняя формула, в частности, дает
$(1 + x)^{2} \approx 1 + 2x$,
$\frac{1}{1 + x} = (1 + x)^{-1} \approx 1 - x$,
$\sqrt{1 + x} = \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2}$ и т. д.
Если в тексте задачи или в процессе решения встречаются две одноименные величины $a$ и $A$ такие, что $| a | < A$ (или $\left | \frac{a}{A} \right | \ll 1$), приведенные формулы могут существенно упростить вычисления. Вносимая при этом в результат относительная погрешность приблизительно равна $\frac{a^{2}}{A^{2}}$.
Например:
$\frac{A + a}{A - a} = \frac{1 + \frac{a}{A} }{1 - \frac{a}{A} } \approx \left ( 1 + \frac{a}{A} \right ) \left ( 1 + \frac{a}{A} \right ) = \left ( 1 + \frac{a}{A} \right )^{2} \approx 1 + \frac{2a}{A}$.
Для наглядности: если $A = 100, a = 1$, значение дроби $\frac{A + a}{A - a}$, вычисленное приближенным способом, составит 1,02, точное же значение равно 1,020202...
Иногда говорят: "Но если $| x | \ll 1$, не следует ли пренебречь и самим $x$ сравнительно с 1?" Что же, не исключено и такое. Но при этом $x$ может исчезнуть в конечном результате, что, разумеется, недопустимо, если требуется найти как раз влияние величины $x$ на этот результат. (К примеру, правые части всех приведенных выше формул обратятся в 1, и станет неизвестно, как значение $x$ влияет на величину выражений вида $\frac{1}{1 + x}$ или ($\sqrt{1 + x}$).
В данной задаче результат был получен после следующих преобразований:
$\frac{ \frac{1}{R^{2}} - \frac{1}{(R+2r)^{2}}}{ \frac{1}{(R + 2r)^{2}} } = \left ( \frac{R + 2r}{R} \right )^{2} - 1 = \left ( 1 + \frac{2r}{R} \right )^{2} - 1 \approx 1 + \frac{4r}{R} - 1 = \frac{4r}{R}$.
