Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11454
2019-11-17 
В замкнутом вертикальном сосуде поршень, который может двигаться без трения, делит разграниченные им объемы в отношении $n : 1$. Над и под поршнем находятся одинаковые массы одного и того же газа при температуре $T_{1}$.
Как изменится отношение объемов при изменении температуры до $T_{2}$?
Решение:
Так как поршень неподвижен, то сумма действующих на него сил равна нулю, следовательно, давление в нижней части сосуда должно быть больше давления в верхней его части, чтобы уравновесить давление газа сверху и вес поршня.
Если $n > 1$, то $n : 1$ дает, следовательно, отношение верхнего объема к нижнему. Будем решать задачу именно в таком предположении.
Введем следующие обозначения: $V_{в1}, V_{н1}, p_{в1}, p_{н1}, V_{в2}, V_{y2}, p_{в2}, V_{н2}$ - объем и давление газа в верхней и нижней частях сосуда при температурах $T_{1}$ и $T_{2}$. Так как объем сосуда неизменен, $V_{в1} + V_{н1} = V_{в2} + V_{н2}$,
$V_{в1} \left (1 + \frac{1}{n} \right ) = V_{2} \left ( 1 + \frac{1}{k} \right )$, (1)
где $k$ - искомое отношение верхнего объема к нижнему. Очевидно, что $k > 1$.
Вес $G$ поршня постоянен. Следовательно,
$(p_{н1} - p_{в1}) S = G = ( p_{н2} - p_{в2}) S$, (2)
где $S$ - площадь поршня. Так как массы газа с разных сторон от поршня одинаковы и неизменны, то $\frac{p_{в1} }{p_{н1} } = \frac{1}{n}, \frac{p_{в2}}{p_{н2} } = \frac{1}{k}$. При этом из равенства (2) получаем, что
$p_{в1}(n - 1) = p_{в2} (k - 1)$. (3)
Воспользуемся объединенным газовым законом. Из него, в частности, следует, что $\frac{V_{в1}p_{в1} }{T_{1} } = \frac{V_{в2} p_{в2} }{T_{2} }$. Подставляя сюда выражения для $V_{в2}$ и $p_{в2}$ из (1) и (3), приходим к уравнению для определения величины $k$:
$k^{2} - \frac{T_{1}}{T_{2} } \left ( n - \frac{1}{n} \right ) k - 1 = 0$.
Его корни определяются выражением
$k_{1,2} = \frac{T_{1} }{2T_{2} } \left ( n - \frac{1}{n} \right ) \pm \sqrt{ \frac{T_{1}^{2} }{4T_{2}^{2} } \left ( n - \frac{1}{n} \right )^{2} + 1 }$. (4)
Легко видеть, что дискриминант всегда положителен, один из корней отрицателен, мы его отбрасываем, другой корень больше единицы.
Проверка полученного решения для случая $n = 1$, что соответствует невесомому поршню, дает очевидный результат $k = 1$.
В замкнутом вертикальном сосуде поршень, который может двигаться без трения, делит разграниченные им объемы в отношении $n : 1$. Над и под поршнем находятся одинаковые массы одного и того же газа при температуре $T_{1}$.
Как изменится отношение объемов при изменении температуры до $T_{2}$?
Решение:
Так как поршень неподвижен, то сумма действующих на него сил равна нулю, следовательно, давление в нижней части сосуда должно быть больше давления в верхней его части, чтобы уравновесить давление газа сверху и вес поршня.
Если $n > 1$, то $n : 1$ дает, следовательно, отношение верхнего объема к нижнему. Будем решать задачу именно в таком предположении.
Введем следующие обозначения: $V_{в1}, V_{н1}, p_{в1}, p_{н1}, V_{в2}, V_{y2}, p_{в2}, V_{н2}$ - объем и давление газа в верхней и нижней частях сосуда при температурах $T_{1}$ и $T_{2}$. Так как объем сосуда неизменен, $V_{в1} + V_{н1} = V_{в2} + V_{н2}$,
$V_{в1} \left (1 + \frac{1}{n} \right ) = V_{2} \left ( 1 + \frac{1}{k} \right )$, (1)
где $k$ - искомое отношение верхнего объема к нижнему. Очевидно, что $k > 1$.
Вес $G$ поршня постоянен. Следовательно,
$(p_{н1} - p_{в1}) S = G = ( p_{н2} - p_{в2}) S$, (2)
где $S$ - площадь поршня. Так как массы газа с разных сторон от поршня одинаковы и неизменны, то $\frac{p_{в1} }{p_{н1} } = \frac{1}{n}, \frac{p_{в2}}{p_{н2} } = \frac{1}{k}$. При этом из равенства (2) получаем, что
$p_{в1}(n - 1) = p_{в2} (k - 1)$. (3)
Воспользуемся объединенным газовым законом. Из него, в частности, следует, что $\frac{V_{в1}p_{в1} }{T_{1} } = \frac{V_{в2} p_{в2} }{T_{2} }$. Подставляя сюда выражения для $V_{в2}$ и $p_{в2}$ из (1) и (3), приходим к уравнению для определения величины $k$:
$k^{2} - \frac{T_{1}}{T_{2} } \left ( n - \frac{1}{n} \right ) k - 1 = 0$.
Его корни определяются выражением
$k_{1,2} = \frac{T_{1} }{2T_{2} } \left ( n - \frac{1}{n} \right ) \pm \sqrt{ \frac{T_{1}^{2} }{4T_{2}^{2} } \left ( n - \frac{1}{n} \right )^{2} + 1 }$. (4)
Легко видеть, что дискриминант всегда положителен, один из корней отрицателен, мы его отбрасываем, другой корень больше единицы.
Проверка полученного решения для случая $n = 1$, что соответствует невесомому поршню, дает очевидный результат $k = 1$.
