Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11453
2019-11-17 
Перевернутый цилиндрический стакан высотой $H$ плавает так, что его дно находится вровень с поверхностью воды (см. рисунок), причем вода занимает $1/n$ часть стакана. Такой же стакан, но пустой, погружают в воду вверх дном. На какую глубину надо его погрузить, чтобы он не всплыл?
Окружающий воздух имеет температуру $T_{1}$, вода - $T_{2}$, атмосферное давление равно $p$.
Решение:
Для плавающего у поверхности стакана давление воздуха в нем определяется выражением
$p_{1} = \rho gH \frac{n - 1}{n} + p$,
где $\rho$ - плотность воды.
Так как только сила этого давления и удерживает стакан в неподвижном состоянии, вес $G$ стакана таков, что
$G = \rho gHS \frac{n - 1}{n}$, (1)
где $S$ - площадь поперечного сечения стакана (здесь и в дальнейшем для сокращения вычислений предполагается, что плотность стекла настолько превосходит плотность воды, что выталкивающей силой, действующей на объем, занятый стеклом, можно пренебречь по сравнению с силой давления воздуха).
Стакан, погруженный на глубину $x$, не всплывает, если окажется, что сила давления воздуха на дно стакана снизу не превосходит суммы силы давления воды на дно сверху и веса стакана, т. е.
$\rho g \left (x - H + \frac{V}{S} \right ) S \leq \rho g(x-H)S + G$, (2)
где $V$ - объем воздуха в стакане на глубине $x$. Знак равенства в выражении (2) соответствует состоянию неустойчивого равновесия стакана.
Исключая из выражений (1) и (2) величину $G$, находим, что
$V \leq HS \frac{n - 1}{n}$. (3)
На основе объединенного газового закона
$\frac{pHS}{T_{1}} = \left [ p + \rho g \left (x - H + \frac{V}{S} \right ) \right ] \frac{V}{T_{2}}$. (4)
Исключая из соотношений (3) и (4) объем $V$, приходим к выражению
$x \geq \frac{p}{ \rho g} \left ( \frac{n }{n - 1} \frac{T_{2} }{T_{1} } - 1 \right ) + \frac{H}{n}$.
Следует заметить, что решение задачи имеет смысл, если выполняется неравенство
$\frac{p}{ \rho g} \left ( \frac{n}{n - 1} \frac{T_{2} }{T_{1} } - 1 \right ) + \frac{H}{n} > 0$.
В противном случае стакан утонет и сам.
Перевернутый цилиндрический стакан высотой $H$ плавает так, что его дно находится вровень с поверхностью воды (см. рисунок), причем вода занимает $1/n$ часть стакана. Такой же стакан, но пустой, погружают в воду вверх дном. На какую глубину надо его погрузить, чтобы он не всплыл?
Окружающий воздух имеет температуру $T_{1}$, вода - $T_{2}$, атмосферное давление равно $p$.
Решение:
Для плавающего у поверхности стакана давление воздуха в нем определяется выражением
$p_{1} = \rho gH \frac{n - 1}{n} + p$,
где $\rho$ - плотность воды.
Так как только сила этого давления и удерживает стакан в неподвижном состоянии, вес $G$ стакана таков, что
$G = \rho gHS \frac{n - 1}{n}$, (1)
где $S$ - площадь поперечного сечения стакана (здесь и в дальнейшем для сокращения вычислений предполагается, что плотность стекла настолько превосходит плотность воды, что выталкивающей силой, действующей на объем, занятый стеклом, можно пренебречь по сравнению с силой давления воздуха).
Стакан, погруженный на глубину $x$, не всплывает, если окажется, что сила давления воздуха на дно стакана снизу не превосходит суммы силы давления воды на дно сверху и веса стакана, т. е.
$\rho g \left (x - H + \frac{V}{S} \right ) S \leq \rho g(x-H)S + G$, (2)
где $V$ - объем воздуха в стакане на глубине $x$. Знак равенства в выражении (2) соответствует состоянию неустойчивого равновесия стакана.
Исключая из выражений (1) и (2) величину $G$, находим, что
$V \leq HS \frac{n - 1}{n}$. (3)
На основе объединенного газового закона
$\frac{pHS}{T_{1}} = \left [ p + \rho g \left (x - H + \frac{V}{S} \right ) \right ] \frac{V}{T_{2}}$. (4)
Исключая из соотношений (3) и (4) объем $V$, приходим к выражению
$x \geq \frac{p}{ \rho g} \left ( \frac{n }{n - 1} \frac{T_{2} }{T_{1} } - 1 \right ) + \frac{H}{n}$.
Следует заметить, что решение задачи имеет смысл, если выполняется неравенство
$\frac{p}{ \rho g} \left ( \frac{n}{n - 1} \frac{T_{2} }{T_{1} } - 1 \right ) + \frac{H}{n} > 0$.
В противном случае стакан утонет и сам.
