Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11452
2019-11-17 
Из крана вытекает вниз вертикальная струя воды. Вам предоставлена возможность наблюдать отрезок струи длиной 3 см, и вы заметили, что на этом протяжении диаметр струи уменьшился от 3 до 2 мм.
За какое время наполнится водой стакан объемом $V = 200 см^{3}$?
Решение:
Уменьшение диаметра струи происходит под действием сил поверхностного натяжения. Если бы поверхностное натяжение отсутствовало, то струя воды вела бы себя, как поток дроби, высыпающейся из трубки: у "струи" дроби диаметр не меняется по мере удаления от конца трубы, расстояния же по вертикали между дробинками возрастают (действует кинематика равноускоренного движения!).
Поскольку кривизна поверхности струи изменяется, дополнительное давление внутри струи, создаваемое поверхностным натяжением, различно в разных сечениях. Очевидно, что кривизна струи в сечении, проходящем через ее осевую линию, значительно меньше, чем в сечениях, перпендикулярных струе. Следовательно, для расчетов дополнительного давления $\Delta p$ в результате поверхностного натяжения можно принять, что в любом сечении поверхность струи имеет цилиндрическую форму.
Применим к сечениям $S_{1}$ и $S_{2}$ с радиусами $R_{1}$ и $R_{2}$ (см. рисунок) закон Бернулли:
$\Delta p_{1} + \rho gh_{1} + \frac{ \rho v_{1}^{2}}{2} = \Delta p_{2} + \rho gh_{2} + \frac{ \rho v_{2}^{2}}{2}$, (1)
где $\Delta p_{1} = \frac{ \sigma}{R_{1}}, \Delta p_{2} = \frac{ \sigma}{R_{2}}, h_{1} - h_{2} = h = 3 см$, $\sigma$ и $\rho$ - коэффициент поверхностного натяжения и плотность воды, $v_{1}$ и $v_{2}$ - скорости течения в сечениях $S_{1}$ и $S_{2}$.
Так как за один и тот же интервал времени через любое сечение струи проходит одно и то же количество воды, то $S_{1}v_{1} = S_{2}v_{2}$, откуда $v_{2} = \frac{v_{1}S_{1}}{S_{2}}$. С учетом последнего соотношения из выражения (1) находим, что
$v_{1}^{2} = \frac{ \rho gh R_{1}R_{2} - \sigma (R_{1} - R_{2} ) }{R_{1} } \frac{2R_{2}^{2} }{ \rho (R_{1}^{2} - R_{2}^{2} ) }$. (2)
Искомое время найдем из очевидного равенства $\Delta t = \frac{V}{S_{1}v_{1}}$ подставляя в которое выражение (2) и численные данные (причем $\sigma = 76 \cdot 10^{-3} Н/м$), получаем, что $\Delta t \approx 75 с$.
Из крана вытекает вниз вертикальная струя воды. Вам предоставлена возможность наблюдать отрезок струи длиной 3 см, и вы заметили, что на этом протяжении диаметр струи уменьшился от 3 до 2 мм.
За какое время наполнится водой стакан объемом $V = 200 см^{3}$?
Решение:
Уменьшение диаметра струи происходит под действием сил поверхностного натяжения. Если бы поверхностное натяжение отсутствовало, то струя воды вела бы себя, как поток дроби, высыпающейся из трубки: у "струи" дроби диаметр не меняется по мере удаления от конца трубы, расстояния же по вертикали между дробинками возрастают (действует кинематика равноускоренного движения!).
Поскольку кривизна поверхности струи изменяется, дополнительное давление внутри струи, создаваемое поверхностным натяжением, различно в разных сечениях. Очевидно, что кривизна струи в сечении, проходящем через ее осевую линию, значительно меньше, чем в сечениях, перпендикулярных струе. Следовательно, для расчетов дополнительного давления $\Delta p$ в результате поверхностного натяжения можно принять, что в любом сечении поверхность струи имеет цилиндрическую форму.
Применим к сечениям $S_{1}$ и $S_{2}$ с радиусами $R_{1}$ и $R_{2}$ (см. рисунок) закон Бернулли:
$\Delta p_{1} + \rho gh_{1} + \frac{ \rho v_{1}^{2}}{2} = \Delta p_{2} + \rho gh_{2} + \frac{ \rho v_{2}^{2}}{2}$, (1)
где $\Delta p_{1} = \frac{ \sigma}{R_{1}}, \Delta p_{2} = \frac{ \sigma}{R_{2}}, h_{1} - h_{2} = h = 3 см$, $\sigma$ и $\rho$ - коэффициент поверхностного натяжения и плотность воды, $v_{1}$ и $v_{2}$ - скорости течения в сечениях $S_{1}$ и $S_{2}$.
Так как за один и тот же интервал времени через любое сечение струи проходит одно и то же количество воды, то $S_{1}v_{1} = S_{2}v_{2}$, откуда $v_{2} = \frac{v_{1}S_{1}}{S_{2}}$. С учетом последнего соотношения из выражения (1) находим, что
$v_{1}^{2} = \frac{ \rho gh R_{1}R_{2} - \sigma (R_{1} - R_{2} ) }{R_{1} } \frac{2R_{2}^{2} }{ \rho (R_{1}^{2} - R_{2}^{2} ) }$. (2)
Искомое время найдем из очевидного равенства $\Delta t = \frac{V}{S_{1}v_{1}}$ подставляя в которое выражение (2) и численные данные (причем $\sigma = 76 \cdot 10^{-3} Н/м$), получаем, что $\Delta t \approx 75 с$.
