Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11443
2019-11-17 
Известно, что за счет поверхностного натяжения давление с разных сторон от искривленной поверхности жидкости неодинаково. Определить эту разность давлений для сферической и цилиндрической поверхности жидкости с коэффициентом поверхностного натяжения $\sigma$.
Решение:
Рассмотрим пузырь воздуха радиусом $R$ в жидкости. Для того чтобы увеличить радиус пузыря на величину $x$, нужно произвести работу тем большую, чем больше разность давлений вне и внутри пузыря. Будем считать, что $x \ll R$, так что и радиус пузыря, и искомая разность давлений при увеличении пузыря меняются незначительно. Тогда необходимую работу $A$ можно вычислить по формуле $A \approx \Delta p 4 \pi R^{2}x$, где $\Delta p$ - разность давлений по обе стороны от поверхности пузыря.
При этом поверхность пузыря увеличится на величину $\Delta S = 4 \pi (R + x)^{2} - 4 \pi R^{2} \approx 8 \pi Rx$. (Если суммируются слагаемые, содержащие такие одноименные величины $a$ и $A$, что $|a| \ll |A|$, членами, содержащими $a^{2}, a^{3}$ и т. д., можно пренебречь сравнительно с членами, содержащими $a^{0}$ и $a^{1}$, См. также примечание к задаче 11467). На основе закона сохранения анергии в соответствии с определением величины $\sigma A = \sigma \Delta S = 8 \pi R x \sigma$. Следовательно,
$\Delta p_{ш} = \frac{2 \sigma}{R}$. (1)
Аналогичный расчет для цилиндрической поверхности с радиусом $R$ приведет к выражению
$\Delta p_{ц} = \frac{ \sigma}{R}$. (2)
Как следует из наших рассуждений, давление больше с той стороны от поверхности, с которой поверхность кажется вогнутой.
Примечание. Произвольная поверхность может быть в разных направлениях искривлена по-разному. Характерный пример: поверхность, имеющая форму седла. Наблюдатель, находящийся у такой поверхности, не может ответить на вопрос: является ли она выпуклой или вогнутой (в одном направлении поверхность кажется ему выпуклой, в другом - вогнутой)?
Кривизну любой поверхности в данной точке $M$ характеризуют следующим образом. Проведем в точке $M$ касательную к поверхности плоскость $P$. Любая плоскость $Q$, перпендикулярная к касательной плоскости $P$, пересекается с поверхностью по кривой, имеющей в точке $M$ какой-то радиус кривизны $R$. Значения $R$ различны для разных плоскостей $Q$. Наибольшее и наименьшее значения $R$ среди всех возможных называются главными радиусами кривизны $R_{1}$ и $R_{2}$ поверхности в точке $M$; соответствующие им плоскости $Q_{1}$ и $Q_{2}$ перпендикулярны друг другу.
Можно показать, что разность давлений по разные стороны от произвольной поверхности жидкости связана с главными радиусами кривизны соотношением
$\Delta p = \sigma \left ( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right )$. (3)
Для сферической поверхности главные радиусы кривизны одинаковы, $R_{1} = R_{2} = R$; при этом формула (3) приводит к выражению (1).
Для цилиндрической поверхности один из радиусов кривизны бесконечен, а второй совпадает с радиусом цилиндра; при этом из (3) следует формула (2).
Для поверхности, имеющей форму седла, один из главных радиусов кривизны имеет отрицательное значение.
Известно, что за счет поверхностного натяжения давление с разных сторон от искривленной поверхности жидкости неодинаково. Определить эту разность давлений для сферической и цилиндрической поверхности жидкости с коэффициентом поверхностного натяжения $\sigma$.
Решение:
Рассмотрим пузырь воздуха радиусом $R$ в жидкости. Для того чтобы увеличить радиус пузыря на величину $x$, нужно произвести работу тем большую, чем больше разность давлений вне и внутри пузыря. Будем считать, что $x \ll R$, так что и радиус пузыря, и искомая разность давлений при увеличении пузыря меняются незначительно. Тогда необходимую работу $A$ можно вычислить по формуле $A \approx \Delta p 4 \pi R^{2}x$, где $\Delta p$ - разность давлений по обе стороны от поверхности пузыря.
При этом поверхность пузыря увеличится на величину $\Delta S = 4 \pi (R + x)^{2} - 4 \pi R^{2} \approx 8 \pi Rx$. (Если суммируются слагаемые, содержащие такие одноименные величины $a$ и $A$, что $|a| \ll |A|$, членами, содержащими $a^{2}, a^{3}$ и т. д., можно пренебречь сравнительно с членами, содержащими $a^{0}$ и $a^{1}$, См. также примечание к задаче 11467). На основе закона сохранения анергии в соответствии с определением величины $\sigma A = \sigma \Delta S = 8 \pi R x \sigma$. Следовательно,
$\Delta p_{ш} = \frac{2 \sigma}{R}$. (1)
Аналогичный расчет для цилиндрической поверхности с радиусом $R$ приведет к выражению
$\Delta p_{ц} = \frac{ \sigma}{R}$. (2)
Как следует из наших рассуждений, давление больше с той стороны от поверхности, с которой поверхность кажется вогнутой.
Примечание. Произвольная поверхность может быть в разных направлениях искривлена по-разному. Характерный пример: поверхность, имеющая форму седла. Наблюдатель, находящийся у такой поверхности, не может ответить на вопрос: является ли она выпуклой или вогнутой (в одном направлении поверхность кажется ему выпуклой, в другом - вогнутой)?
Кривизну любой поверхности в данной точке $M$ характеризуют следующим образом. Проведем в точке $M$ касательную к поверхности плоскость $P$. Любая плоскость $Q$, перпендикулярная к касательной плоскости $P$, пересекается с поверхностью по кривой, имеющей в точке $M$ какой-то радиус кривизны $R$. Значения $R$ различны для разных плоскостей $Q$. Наибольшее и наименьшее значения $R$ среди всех возможных называются главными радиусами кривизны $R_{1}$ и $R_{2}$ поверхности в точке $M$; соответствующие им плоскости $Q_{1}$ и $Q_{2}$ перпендикулярны друг другу.
Можно показать, что разность давлений по разные стороны от произвольной поверхности жидкости связана с главными радиусами кривизны соотношением
$\Delta p = \sigma \left ( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right )$. (3)
Для сферической поверхности главные радиусы кривизны одинаковы, $R_{1} = R_{2} = R$; при этом формула (3) приводит к выражению (1).
Для цилиндрической поверхности один из радиусов кривизны бесконечен, а второй совпадает с радиусом цилиндра; при этом из (3) следует формула (2).
Для поверхности, имеющей форму седла, один из главных радиусов кривизны имеет отрицательное значение.
