Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11430
2019-11-17 
Сосуд с ртутью равномерно вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью $\omega$. Поверхность ртути принимает при этом вогнутую форму и используется как зеркало. Определить фокусное расстояние этого зеркала.
Указания: 1. Парабола есть геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой точки (фокуса) и прямой линии (директрисы). 2. Параллельные лучи, падающие на параболическое зеркало параллельно его оси, после отражения от зеркала пересекаются в его фокусе.
Решение:
Рассмотрим небольшой объем ртути $M$, находящийся у поверхности (см. рисунок, на котором $OO^{ \prime}$ - ось вращения; $M$ - положение выделенного объема). Действующие на него силы, а именно вес $\vec{G}$ и "архимедова" сила $\vec{F}_{A}$ (см. задачи 11419,11428), таковы, что в сумме создают центростремительную силу $\vec{F}$. Сила $\vec{F}_{A}$ при установившемся вращении направлена перпендикулярно поверхности жидкости. Следовательно,
$G ctg \alpha = \frac{mv^{2}}{R} = m \omega^{2}R$, (1)
где $m$ - масса выделенного объема; $v$ - его скорость; $R$ - расстояние объема от оси вращения, $R = OM$. (Объем выбран настолько малым, что его можно считать материальной точкой.)
Вертикальный луч света, падающий на поверхность ртути в точке $M$, после отражения от поверхности пойдет вдоль $MF$, где $\angle FMA^{ \prime} = \alpha$, и пересечет ось вращения в точке $F$. Покажем, что точка $F$ является фокусом получающегося зеркала.
Построим отрезок $MD$ такой, что $MD \parallel OO^{ \prime}$ и $MD = MF$. Через точку $D$ проведем линию $DC$ так, что $DC \perp OO^{ \prime}$. Нетрудно видеть, что $FC = CD tg \alpha$, или по (1) $FC = \frac{g}{ \omega^{2}}$, т. е. расстояние $FC$ не зависит от расстояния $R$ нашего объема от оси вращения.
Построим параболу, для которой точка $F$ является фокусом, а линия $CD$ - директрисой. Вершина этой параболы расположена в точке $A$ такой, что $AF = \frac{FC}{2}$. Парабола проходит через точку $M$. Поверхность, полученная вращением параболы вокруг оси $OO^{ \prime}$, называется параболоидом вращения. Легко убедиться, что для любого объема у поверхности построенного параболоида вращения выполняется второй закон Ньютона в форме (1). Следовательно, построенный параболоид является искомой поверхностью ртути в сосуде, а фокусное расстояние нашего зеркала
$f = AF = \frac{g}{2 \omega^{2}}$.
Сосуд с ртутью равномерно вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью $\omega$. Поверхность ртути принимает при этом вогнутую форму и используется как зеркало. Определить фокусное расстояние этого зеркала.
Указания: 1. Парабола есть геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой точки (фокуса) и прямой линии (директрисы). 2. Параллельные лучи, падающие на параболическое зеркало параллельно его оси, после отражения от зеркала пересекаются в его фокусе.
Решение:
Рассмотрим небольшой объем ртути $M$, находящийся у поверхности (см. рисунок, на котором $OO^{ \prime}$ - ось вращения; $M$ - положение выделенного объема). Действующие на него силы, а именно вес $\vec{G}$ и "архимедова" сила $\vec{F}_{A}$ (см. задачи 11419,11428), таковы, что в сумме создают центростремительную силу $\vec{F}$. Сила $\vec{F}_{A}$ при установившемся вращении направлена перпендикулярно поверхности жидкости. Следовательно,
$G ctg \alpha = \frac{mv^{2}}{R} = m \omega^{2}R$, (1)
где $m$ - масса выделенного объема; $v$ - его скорость; $R$ - расстояние объема от оси вращения, $R = OM$. (Объем выбран настолько малым, что его можно считать материальной точкой.)
Вертикальный луч света, падающий на поверхность ртути в точке $M$, после отражения от поверхности пойдет вдоль $MF$, где $\angle FMA^{ \prime} = \alpha$, и пересечет ось вращения в точке $F$. Покажем, что точка $F$ является фокусом получающегося зеркала.
Построим отрезок $MD$ такой, что $MD \parallel OO^{ \prime}$ и $MD = MF$. Через точку $D$ проведем линию $DC$ так, что $DC \perp OO^{ \prime}$. Нетрудно видеть, что $FC = CD tg \alpha$, или по (1) $FC = \frac{g}{ \omega^{2}}$, т. е. расстояние $FC$ не зависит от расстояния $R$ нашего объема от оси вращения.
Построим параболу, для которой точка $F$ является фокусом, а линия $CD$ - директрисой. Вершина этой параболы расположена в точке $A$ такой, что $AF = \frac{FC}{2}$. Парабола проходит через точку $M$. Поверхность, полученная вращением параболы вокруг оси $OO^{ \prime}$, называется параболоидом вращения. Легко убедиться, что для любого объема у поверхности построенного параболоида вращения выполняется второй закон Ньютона в форме (1). Следовательно, построенный параболоид является искомой поверхностью ртути в сосуде, а фокусное расстояние нашего зеркала
$f = AF = \frac{g}{2 \omega^{2}}$.
