Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11428
2019-11-17 
Цилиндрический сосуд с жидкостью плотностью $\rho$ вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг оси $OO^{ \prime}$, совпадающей с вертикальной образующей цилиндра. Внутри сосуда укреплен тонкий горизонтальный стержень $AB$, расположенный вдоль диаметра, проходящего через ось вращения. По стержню может скользить без трения муфта в виде шара массой $m$ и радиусом $r$. Шар связан с концом $A$ стержня пружиной жесткостью $k$, длина которой в нерастянутом состоянии равна $l_{0}$ (см. рис. а).
Определить расстояние шара от оси вращения.
Решение:
Пусть искомое положение центра муфты находится на расстоянии $x$ от оси вращения.
При установившемся вращении сосуда с жидкостью шаровой объем жидкости радиусом $r$, расположенный на расстоянии $x$ от оси вращения на той же глубине, что и муфта, испытывает действие двух сил: силы тяжести $\vec{G}$ и "архимедовой" силы $\vec{F}$ (см. задачу 11419). Поскольку сила $\vec{F}$ зависит лишь от положения выделенного объема, его формы и величины, то эта сила равна "архимедовой" силе, действующей на муфту.
В соответствии со вторым законом Ньютона горизонтальная проекция $F_{г}$ "архимедовой" силы сообщает объему жидкости центростремительное ускорение $a = \omega^{2}x$. Эта формула нуждается в пояснениях, так как неочевидно, что в ее правой части должна стоять величина $x$, а не какое-то другое расстояние $x^{ \prime}$. Другими словами, действительно ли "архимедова" сила $\vec{F}$ приложена к центру масс выделенного объема жидкости?
Если шарик мал, т. е. $r \ll l_{0}, \Delta x$, где $\Delta x$ - упругая деформация пружины, то в условиях задачи он является материальной точкой (см. задачу 11391), и вопрос снимается.
Допустим, что размеры шарика сравнимы с длиной пружины и величиной деформации. Разобьем выделенный объем жидкости на элементарные объемы массой $\Delta m_{i}$. На каждый из элементарных объемов действует "архимедова" сила, горизонтальная проекция которой $\Delta F_{r_{i} } = \Delta m_{i} \omega^{2} r_{i}$ направлена к оси вращения, причем $r_{i}$ - расстояние объема с номером $i$ от оси вращения (рис. б). Введем систему координат $OXYZ$ с началом на оси вращения, направив ось $OX$ в центр выделенного объема жидкости, ось $OZ$ - по оси - вращения. Проекция силы $\Delta F_{r_{i}}$ на ось $OX$ будет равна $\Delta F_{x_{i} } = \Delta m_{i} \omega^{2} x_{i}$.
Горизонтальная проекция "архимедовой" силы, действующей на весь шарик, направлена к оси вращения (это следует из соображений симметрии) и определяется соотношением
$F_{г} = \sum_{i} \Delta m_{i} \omega^{2} x_{i} = \omega^{2} \sum_{i} \Delta m_{i} x_{i} = \omega^{2} xM$,
где $x$ - координата центра масс шарика (см. задачу 11386); $M = \rho V$ - масса шара; $V$ - его объем.
Таким образом, горизонтальная составляющая "архимедовой" силы приложена к центру масс нашего объема жидкости (к слову, приведенное доказательство справедливо не только для шара, но и для объема произвольной формы).
Во избежание недоразумений еще раз поясним смысл выражения "сила приложена к такой-то точке тела". Это означает, что под действием рассматриваемой силы тело движется так, как если бы вся масса тела была сосредоточена в этой точке, а сила приложена к ней. В действительности точка реального приложения силы может быть совсем другой или даже вообще отсутствовать: в частности, в нашей задаче "архимедова" сила является результатом давления жидкости на всю поверхность шарика.
Из второго закона Ньютона для муфты следует, что
$F_{г} + F_{п} = m \omega^{2}x$, (1)
где $F_{п} = k \Delta x$ - проекция силы натяжения пружины на ось $OX$, причем $\Delta x = x - r - l_{0}$. Учитывая направления проекций сил, из (1) находим, что $V \rho \omega^{2}x + k(x - r - l{0}) = m \omega^{2}x$, откуда $x = k \frac{r + l_{0}}{k - \omega^{2} (m - V \rho)}$.
Решение справедливо при условии, что $k > \omega^{2} (m - V \rho)$, ибо только в этом случае муфта при вращении не касается стенок сосуда. Выполнение обратного неравенства означает, что пружина слабая и не способна удержать муфту внутри жидкости. При этом муфта в зависимости от ее плотности сместится к одному из концов стержня.
Цилиндрический сосуд с жидкостью плотностью $\rho$ вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг оси $OO^{ \prime}$, совпадающей с вертикальной образующей цилиндра. Внутри сосуда укреплен тонкий горизонтальный стержень $AB$, расположенный вдоль диаметра, проходящего через ось вращения. По стержню может скользить без трения муфта в виде шара массой $m$ и радиусом $r$. Шар связан с концом $A$ стержня пружиной жесткостью $k$, длина которой в нерастянутом состоянии равна $l_{0}$ (см. рис. а).
Определить расстояние шара от оси вращения.
Решение:
Пусть искомое положение центра муфты находится на расстоянии $x$ от оси вращения.
При установившемся вращении сосуда с жидкостью шаровой объем жидкости радиусом $r$, расположенный на расстоянии $x$ от оси вращения на той же глубине, что и муфта, испытывает действие двух сил: силы тяжести $\vec{G}$ и "архимедовой" силы $\vec{F}$ (см. задачу 11419). Поскольку сила $\vec{F}$ зависит лишь от положения выделенного объема, его формы и величины, то эта сила равна "архимедовой" силе, действующей на муфту.
В соответствии со вторым законом Ньютона горизонтальная проекция $F_{г}$ "архимедовой" силы сообщает объему жидкости центростремительное ускорение $a = \omega^{2}x$. Эта формула нуждается в пояснениях, так как неочевидно, что в ее правой части должна стоять величина $x$, а не какое-то другое расстояние $x^{ \prime}$. Другими словами, действительно ли "архимедова" сила $\vec{F}$ приложена к центру масс выделенного объема жидкости?
Если шарик мал, т. е. $r \ll l_{0}, \Delta x$, где $\Delta x$ - упругая деформация пружины, то в условиях задачи он является материальной точкой (см. задачу 11391), и вопрос снимается.
Допустим, что размеры шарика сравнимы с длиной пружины и величиной деформации. Разобьем выделенный объем жидкости на элементарные объемы массой $\Delta m_{i}$. На каждый из элементарных объемов действует "архимедова" сила, горизонтальная проекция которой $\Delta F_{r_{i} } = \Delta m_{i} \omega^{2} r_{i}$ направлена к оси вращения, причем $r_{i}$ - расстояние объема с номером $i$ от оси вращения (рис. б). Введем систему координат $OXYZ$ с началом на оси вращения, направив ось $OX$ в центр выделенного объема жидкости, ось $OZ$ - по оси - вращения. Проекция силы $\Delta F_{r_{i}}$ на ось $OX$ будет равна $\Delta F_{x_{i} } = \Delta m_{i} \omega^{2} x_{i}$.
Горизонтальная проекция "архимедовой" силы, действующей на весь шарик, направлена к оси вращения (это следует из соображений симметрии) и определяется соотношением
$F_{г} = \sum_{i} \Delta m_{i} \omega^{2} x_{i} = \omega^{2} \sum_{i} \Delta m_{i} x_{i} = \omega^{2} xM$,
где $x$ - координата центра масс шарика (см. задачу 11386); $M = \rho V$ - масса шара; $V$ - его объем.
Таким образом, горизонтальная составляющая "архимедовой" силы приложена к центру масс нашего объема жидкости (к слову, приведенное доказательство справедливо не только для шара, но и для объема произвольной формы).
Во избежание недоразумений еще раз поясним смысл выражения "сила приложена к такой-то точке тела". Это означает, что под действием рассматриваемой силы тело движется так, как если бы вся масса тела была сосредоточена в этой точке, а сила приложена к ней. В действительности точка реального приложения силы может быть совсем другой или даже вообще отсутствовать: в частности, в нашей задаче "архимедова" сила является результатом давления жидкости на всю поверхность шарика.
Из второго закона Ньютона для муфты следует, что
$F_{г} + F_{п} = m \omega^{2}x$, (1)
где $F_{п} = k \Delta x$ - проекция силы натяжения пружины на ось $OX$, причем $\Delta x = x - r - l_{0}$. Учитывая направления проекций сил, из (1) находим, что $V \rho \omega^{2}x + k(x - r - l{0}) = m \omega^{2}x$, откуда $x = k \frac{r + l_{0}}{k - \omega^{2} (m - V \rho)}$.
Решение справедливо при условии, что $k > \omega^{2} (m - V \rho)$, ибо только в этом случае муфта при вращении не касается стенок сосуда. Выполнение обратного неравенства означает, что пружина слабая и не способна удержать муфту внутри жидкости. При этом муфта в зависимости от ее плотности сместится к одному из концов стержня.
