Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11424
2019-11-17 
Тонкий, изготовленный из неоднородного по плотности материала стержень длиной $l$ с поперечным сечением $S$ и массой $m$ плавает в наклонном положении, так как к одному его концу привязан тяжелый груз, лежащий на дне сосуда. Где расположен центр тяжести стержня и какая его часть торчит над водой, если нить натянута с силой $T$ (см. рисунок)?
Решение:
Пусть над водой торчит $1/n$ часть стержня, а центр тяжести расположен на расстоянии $x$ от верхнего конца.
Задача имеет смысл, если средняя плотность стержня $\rho$, равная $\frac{m}{lS}$, меньше плотности воды $\rho_{0}$, т. е. $\rho / \rho_{0} < 1$.
Из условий равновесия стержня следует, что
$\begin{cases} mg + T = F_{A}, \\ mg (l - x) = \frac{F_{A}l (n - 1)}{2n} \end{cases}$ (1)
где $\vec{F}_{A}$ - выталкивающая сила Архимеда, приложенная в середине погруженной части стержня, а моменты сил $m \vec{g}$ и $\vec{F}_{A}$ вычислены относительно нижнего конца стержня. Второе из выражений (1) имеет смысл лишь для наклонно плавающего стержня. По закону Архимеда
$F_{A} = \rho_{0}gSl \frac{n - 1}{n}$. (2)
Из выражений (1) и (2) следует, что
$\frac{1}{n} = 1 - \left ( 1 + \frac{T}{mg} \right ) \frac{ \rho}{ \rho_{0} }, x = l \left [ 1 - \left ( 1 + \frac{T}{mg} \right )^{2} \right ] \frac{ \rho}{ 2 \rho_{0} }$. (3)
Так как из задачи следует, что обе эти величины положительны, то из уравнений (3) находим, что решение имеет смысл при выполнении условий
$T + mg \leq F_{Amax}$, если $\rho < \rho_{0} < 2 \rho$,
$T + mg < F_{Amax} \sqrt{ \frac{2 \rho}{ \rho_{0} } }$, если $\rho_{0} > 2 \rho$,
где $F_{Amax}$ - значение выталкивающей силы при полностью погруженном стержне, $F_{Amax} = \frac{mg \rho_{0}}{ \rho}$.
Тонкий, изготовленный из неоднородного по плотности материала стержень длиной $l$ с поперечным сечением $S$ и массой $m$ плавает в наклонном положении, так как к одному его концу привязан тяжелый груз, лежащий на дне сосуда. Где расположен центр тяжести стержня и какая его часть торчит над водой, если нить натянута с силой $T$ (см. рисунок)?
Решение:
Пусть над водой торчит $1/n$ часть стержня, а центр тяжести расположен на расстоянии $x$ от верхнего конца.
Задача имеет смысл, если средняя плотность стержня $\rho$, равная $\frac{m}{lS}$, меньше плотности воды $\rho_{0}$, т. е. $\rho / \rho_{0} < 1$.
Из условий равновесия стержня следует, что
$\begin{cases} mg + T = F_{A}, \\ mg (l - x) = \frac{F_{A}l (n - 1)}{2n} \end{cases}$ (1)
где $\vec{F}_{A}$ - выталкивающая сила Архимеда, приложенная в середине погруженной части стержня, а моменты сил $m \vec{g}$ и $\vec{F}_{A}$ вычислены относительно нижнего конца стержня. Второе из выражений (1) имеет смысл лишь для наклонно плавающего стержня. По закону Архимеда
$F_{A} = \rho_{0}gSl \frac{n - 1}{n}$. (2)
Из выражений (1) и (2) следует, что
$\frac{1}{n} = 1 - \left ( 1 + \frac{T}{mg} \right ) \frac{ \rho}{ \rho_{0} }, x = l \left [ 1 - \left ( 1 + \frac{T}{mg} \right )^{2} \right ] \frac{ \rho}{ 2 \rho_{0} }$. (3)
Так как из задачи следует, что обе эти величины положительны, то из уравнений (3) находим, что решение имеет смысл при выполнении условий
$T + mg \leq F_{Amax}$, если $\rho < \rho_{0} < 2 \rho$,
$T + mg < F_{Amax} \sqrt{ \frac{2 \rho}{ \rho_{0} } }$, если $\rho_{0} > 2 \rho$,
где $F_{Amax}$ - значение выталкивающей силы при полностью погруженном стержне, $F_{Amax} = \frac{mg \rho_{0}}{ \rho}$.
