Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11418
2019-11-17 
В однородном шаре сделана сферическая полость, центр которой не совпадает с центром шара. Докажите, что поле тяготения, которое создается образовавшимся телом, внутри полости однородно.
Решение:
Напомним, что поле называется однородным в некоторой области, если его напряженность во всех точках области одинакова по величине и направлению.
Для поля тяготения справедлив принцип суперпозиции: если масса $m_{1}$ создает поле с напряженностью $\vec{g}_{1}$, а масса $m_{2}$ - поле с напряженностью $\vec{g}_{2}$, то напряженность поля, создаваемого обеими массами, равна векторной сумме $\vec{g}_{1}$ и $\vec{g}_{2}$.
Рассмотрим произвольную точку $M$ внутри полости (см. рисунок), $O_{1}$ - центр шара, $O_{2}$ - центр полости. Если полость заполнить веществом той же плотности, что и тело, то ускорение $g_{1}$ в точке $M$ окажется равным величине $\frac{g_{01} O_{1}M}{R}$, где $g_{01}$ - ускорение на поверхности полученного таким образом однородного шара радиусом $R$ (см. задачу 11413). Заполняя полость веществом, мы добавляем к искомому ускорению $\vec{g}$ ускорение $\vec{g}_{2}$, которое создается веществом в полости. Это ускорение равно величине $\frac{ g_{02} O_{2}M}{r}$, где $g_{02}$ - ускорение на поверхности шара радиусом $r$. Следовательно, $\vec{g}_{2} + \vec{g} = \vec{g}_{1}$, откуда
$\vec{g} = \vec{g}_{1} - \vec{g}_{2}$. (1)
Вектор $\vec{g}$ в соответствии с равенством (1) соединяет конец вектора $\vec{g}_{2}$ с концом вектора $\vec{g}_{1}$. Известно (см. задачу 53), что $\vec{g_{01}}{g_{02}} = \frac{R}{r}$, и, следовательно, $\frac{g_{1}}{g_{2}} = \frac{O_{1}M}{O_{2}M}$. Так как векторы $\vec{g}_{1}$ и $\vec{g}_{2}$ направлены вдоль отрезков $O_{1}M$ и $O_{2}M$ и пропорциональны им по величине, треугольник, образованный из векторов $\vec{g}, \vec{g}_{1}$ и $\vec{g}_{2}$, подобен треугольнику Следовательно, вектор $\vec{g}$ параллелен отрезку $O_{1}O_{2}$ и $g = g_{01} \frac{O_{1}O_{2}}{R} = const$ вне зависимости от положения $M$ внутри полости, что и требовалось доказать.
Иногда в книгах можно встретить следующий способ рассуждений: шар с полостью можно представить себе как сферическую область пространства, занятую одновременно двумя телами - большим сплошным'шаром с положительной плотностью и малым шаром, расположенным на месте полости, с равной по величине, но отрицательной плотностью. Если применить к таким телам принцип суперпозиции, можно получить соотношение (1) и искомый результат. Этот метод получил название "метода отрицательной массы".
Мы хотим предостеречь вас от такого "способа" решения: несмотря на то, что в данном случае он формально приводит к верному результату, физического смысла он не имеет. Действительно, совершенно невозможно представить себе, как два тела, одно из которых имеет "отрицательную массу", занимают одно и то же место в пространстве. Кроме того, поскольку и само понятие "отрицательная масса" бессодержательно, тем более нельзя применять к этой "массе" закон всемирного тяготения и принцип суперпозиции..
Когда мы говорим, что метод "формально справедлив", мы_имеем в виду, что результат может быть-получен с помощью рассуждений, имеющих физический смысл (см. также задачу 11420).
В однородном шаре сделана сферическая полость, центр которой не совпадает с центром шара. Докажите, что поле тяготения, которое создается образовавшимся телом, внутри полости однородно.
Решение:
Напомним, что поле называется однородным в некоторой области, если его напряженность во всех точках области одинакова по величине и направлению.
Для поля тяготения справедлив принцип суперпозиции: если масса $m_{1}$ создает поле с напряженностью $\vec{g}_{1}$, а масса $m_{2}$ - поле с напряженностью $\vec{g}_{2}$, то напряженность поля, создаваемого обеими массами, равна векторной сумме $\vec{g}_{1}$ и $\vec{g}_{2}$.
Рассмотрим произвольную точку $M$ внутри полости (см. рисунок), $O_{1}$ - центр шара, $O_{2}$ - центр полости. Если полость заполнить веществом той же плотности, что и тело, то ускорение $g_{1}$ в точке $M$ окажется равным величине $\frac{g_{01} O_{1}M}{R}$, где $g_{01}$ - ускорение на поверхности полученного таким образом однородного шара радиусом $R$ (см. задачу 11413). Заполняя полость веществом, мы добавляем к искомому ускорению $\vec{g}$ ускорение $\vec{g}_{2}$, которое создается веществом в полости. Это ускорение равно величине $\frac{ g_{02} O_{2}M}{r}$, где $g_{02}$ - ускорение на поверхности шара радиусом $r$. Следовательно, $\vec{g}_{2} + \vec{g} = \vec{g}_{1}$, откуда
$\vec{g} = \vec{g}_{1} - \vec{g}_{2}$. (1)
Вектор $\vec{g}$ в соответствии с равенством (1) соединяет конец вектора $\vec{g}_{2}$ с концом вектора $\vec{g}_{1}$. Известно (см. задачу 53), что $\vec{g_{01}}{g_{02}} = \frac{R}{r}$, и, следовательно, $\frac{g_{1}}{g_{2}} = \frac{O_{1}M}{O_{2}M}$. Так как векторы $\vec{g}_{1}$ и $\vec{g}_{2}$ направлены вдоль отрезков $O_{1}M$ и $O_{2}M$ и пропорциональны им по величине, треугольник, образованный из векторов $\vec{g}, \vec{g}_{1}$ и $\vec{g}_{2}$, подобен треугольнику Следовательно, вектор $\vec{g}$ параллелен отрезку $O_{1}O_{2}$ и $g = g_{01} \frac{O_{1}O_{2}}{R} = const$ вне зависимости от положения $M$ внутри полости, что и требовалось доказать.
Иногда в книгах можно встретить следующий способ рассуждений: шар с полостью можно представить себе как сферическую область пространства, занятую одновременно двумя телами - большим сплошным'шаром с положительной плотностью и малым шаром, расположенным на месте полости, с равной по величине, но отрицательной плотностью. Если применить к таким телам принцип суперпозиции, можно получить соотношение (1) и искомый результат. Этот метод получил название "метода отрицательной массы".
Мы хотим предостеречь вас от такого "способа" решения: несмотря на то, что в данном случае он формально приводит к верному результату, физического смысла он не имеет. Действительно, совершенно невозможно представить себе, как два тела, одно из которых имеет "отрицательную массу", занимают одно и то же место в пространстве. Кроме того, поскольку и само понятие "отрицательная масса" бессодержательно, тем более нельзя применять к этой "массе" закон всемирного тяготения и принцип суперпозиции..
Когда мы говорим, что метод "формально справедлив", мы_имеем в виду, что результат может быть-получен с помощью рассуждений, имеющих физический смысл (см. также задачу 11420).
