Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11417
2019-11-17 
Считая, что Земля является однородным жидким шаром с плотностью $\rho = 5,5 г/см^{3}$, определить давление в центре Земли. Построить график изменения давления внутри Земли в зависимости от расстояния до центра Земли. Вращением Земли пренебречь.
Решение:
Рассмотрим внутри Земли тонкий сферический слой, концентричный земной поверхности и удаленный от центра Земли на расстояние $x$. Если $\Delta x$ - толщина слоя, то примем, что $\Delta x \ll x$, чтобы поле тяготения в пределах слоя можно было считать постоянным по величине. На малую площадку $\Delta S$ этого слоя действует сила тяготения, направленная к центру Земли и равная (см. задачу 11413)
$\Delta F_{x} = \frac{4}{3} \gamma \pi \rho^{2} x \Delta x \Delta S$.
Давление, которое оказывает этот слой на нижележащие слои, определяется соотношением
$\Delta p_{x} = \frac{ \Delta F_{x}}{ \Delta S} = \frac{4}{3} \gamma \pi \rho^{2} x \Delta x$.
Представим всю Землю в виде совокупности тонких концентрических слоев. Тогда давление $p(r)$ на расстоянии $r$ от центра можно представить как сумму давлений всех слоев, для которых $x \geq r$, т. е.
$p(r) = \frac{4}{3} \gamma \pi \rho^{2} lim_{ \Delta x_{i} \rightarrow 0 } \sum_{i} x_{i} \Delta x_{i}$,
где $i$ - номер слоя, а суммирование выполняется для всех слоев, у которых $r \leq x_{i} \leq R_{з}$ ($R_{з}$ - радиус Земли).
Вычислять предел указанной величины вы умеете. Если постя роить график зависимости функции $y = x$ от $x$, то на этом графике величина
$lim_{ \Delta x_{i} \rightarrow 0 } \sum_{i} x_{i} \Delta x_{i}$
изображается площадью трапеции, основаниями которой являются ординаты $x = r$ и $x = R_{з}$, а боковыми сторонами - отрезки прямых $y = x$ и $y = 0$ между этими ординатами (ср. со способом вычисления величины перемещения при равномерно ускоренном движении). Следовательно,
$lim_{ \Delta x_{i} \rightarrow 0 } \sum_{i} x_{i} \Delta x_{i} = \frac{(R_{з} + r)(R_{з} - r)}{2} = \frac{R_{з}^{2} - r^{2}}{2}$,
$p(r) = \frac{2}{3} \gamma \pi \rho^{2} (R_{з}^{2} - r{2} )$.
Давление в центре Земли
$p(0) = \frac{2}{3} \gamma \pi \rho^{2} R_{з}^{2} = 1,7 \cdot 10^{11} н/м^{2}$.
Функция $p(r)$ изображает параболу; постройте ее самостоятельно.
Считая, что Земля является однородным жидким шаром с плотностью $\rho = 5,5 г/см^{3}$, определить давление в центре Земли. Построить график изменения давления внутри Земли в зависимости от расстояния до центра Земли. Вращением Земли пренебречь.
Решение:
Рассмотрим внутри Земли тонкий сферический слой, концентричный земной поверхности и удаленный от центра Земли на расстояние $x$. Если $\Delta x$ - толщина слоя, то примем, что $\Delta x \ll x$, чтобы поле тяготения в пределах слоя можно было считать постоянным по величине. На малую площадку $\Delta S$ этого слоя действует сила тяготения, направленная к центру Земли и равная (см. задачу 11413)
$\Delta F_{x} = \frac{4}{3} \gamma \pi \rho^{2} x \Delta x \Delta S$.
Давление, которое оказывает этот слой на нижележащие слои, определяется соотношением
$\Delta p_{x} = \frac{ \Delta F_{x}}{ \Delta S} = \frac{4}{3} \gamma \pi \rho^{2} x \Delta x$.
Представим всю Землю в виде совокупности тонких концентрических слоев. Тогда давление $p(r)$ на расстоянии $r$ от центра можно представить как сумму давлений всех слоев, для которых $x \geq r$, т. е.
$p(r) = \frac{4}{3} \gamma \pi \rho^{2} lim_{ \Delta x_{i} \rightarrow 0 } \sum_{i} x_{i} \Delta x_{i}$,
где $i$ - номер слоя, а суммирование выполняется для всех слоев, у которых $r \leq x_{i} \leq R_{з}$ ($R_{з}$ - радиус Земли).
Вычислять предел указанной величины вы умеете. Если постя роить график зависимости функции $y = x$ от $x$, то на этом графике величина
$lim_{ \Delta x_{i} \rightarrow 0 } \sum_{i} x_{i} \Delta x_{i}$
изображается площадью трапеции, основаниями которой являются ординаты $x = r$ и $x = R_{з}$, а боковыми сторонами - отрезки прямых $y = x$ и $y = 0$ между этими ординатами (ср. со способом вычисления величины перемещения при равномерно ускоренном движении). Следовательно,
$lim_{ \Delta x_{i} \rightarrow 0 } \sum_{i} x_{i} \Delta x_{i} = \frac{(R_{з} + r)(R_{з} - r)}{2} = \frac{R_{з}^{2} - r^{2}}{2}$,
$p(r) = \frac{2}{3} \gamma \pi \rho^{2} (R_{з}^{2} - r{2} )$.
Давление в центре Земли
$p(0) = \frac{2}{3} \gamma \pi \rho^{2} R_{з}^{2} = 1,7 \cdot 10^{11} н/м^{2}$.
Функция $p(r)$ изображает параболу; постройте ее самостоятельно.
