Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11415
2019-11-17 
Допустим, что сквозь Землю через ее центр проведен прямолинейный туннель, такой узкий, что можно пренебречь искажением поля тяготения Земли. Докажите, что, если Земля является однородным шаром, то период колебаний тела, опущенного без начальной скорости в туннель, совпадает с периодом обращения приземного спутника Земли.
Решение:
Найдем период обращения приземного спутника, т. е. спутника, высота орбиты которого значительно меньше радиуса Земли $R_{з}$. Спутник движется под действием единственной силы - веса, следовательно, в соответствии со вторым законом Ньютона $\frac{mv^{2}}{R_{з}} = - mg_{0}$, где $m$ - масса спутника; $v$ - его скорость; $g_{0}$ - ускорение силы тяжести у поверхности Земли. Период обращепия спутника находим из выражения
$T_{1} = \frac{2 \pi R_{з}}{v} = 2 \pi \sqrt{ \frac{R_{з}}{g_{0}}}$.
Рассмотрим движение тела в туннеле. Если тело массы $M$ находится на расстоянии $x$ от центра Земли, то на него действует сила тяготения, определяемая формулой $F(x) = \frac{Mg_{0}x}{R_{з}}$ (см. задачу 11414). Так как $\frac{F (x)}{x} = \frac{Mg_{0}}{R_{з}} = const = k$, то движение тела является гармоническим колебанием вокруг центра Земли, причем период колебаний можно найти из известного соотношения (см. задачу 11410): $T_{2} = 2 \pi \sqrt{ \frac{M}{k} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{R_{з} }{g_{0} } }$. Следовательно, действительно, $T_{1} = T_{2}$.
Обратите внимание, что в условиях задачи отсутствует вопрос о величине периодов $T_{1}$ или $T_{2}$. Нельзя ли доказать их равенство, не вычисляя самих периодов? Если это удастся сделать, то такое доказательство следует считать более красивым.
Очевидно утверждение: если два тела в некоторый момент времени имеют одинаковые скорости и в дальнейшем движутся с одинаковыми ускорениями, их скорости во все последующие моменты времени совпадают.
Допустим, что тело опущено в туннель $AB$ (см. рисунок) в точке $A$ в тот момент времени, когда спутник пролетает над входом в туннель. Рассмотрим движение проекции спутника на направление $AB$. В любой точке орбиты на спутник действует сила тяжести, направленная к центру Земли. В направлении, параллельном $AB$, спутник в положении С движется под действием составляющей силы тяжести $F_{1} = mg_{0} \cos \alpha = \frac{mg_{0} OC_{1}}{R_{з}}$, где $C_{1}$ - проекция $C$ на $AB$. Точка $C_{1}$ движется по $AB$ с ускорением $g_{1} = \frac{g_{0} OC_{1}}{R_{з}}$, совпадающим по величине с ускорением тела в туннеле, когда это тело находится в положении $C_{1}$. Таким образом, скорость тела в туннеле и проекция скорости спутника на направление $AB$ всегда одинаковы, а следовательно, одинаковы и периоды этих движений.
Допустим, что сквозь Землю через ее центр проведен прямолинейный туннель, такой узкий, что можно пренебречь искажением поля тяготения Земли. Докажите, что, если Земля является однородным шаром, то период колебаний тела, опущенного без начальной скорости в туннель, совпадает с периодом обращения приземного спутника Земли.
Решение:
Найдем период обращения приземного спутника, т. е. спутника, высота орбиты которого значительно меньше радиуса Земли $R_{з}$. Спутник движется под действием единственной силы - веса, следовательно, в соответствии со вторым законом Ньютона $\frac{mv^{2}}{R_{з}} = - mg_{0}$, где $m$ - масса спутника; $v$ - его скорость; $g_{0}$ - ускорение силы тяжести у поверхности Земли. Период обращепия спутника находим из выражения
$T_{1} = \frac{2 \pi R_{з}}{v} = 2 \pi \sqrt{ \frac{R_{з}}{g_{0}}}$.
Рассмотрим движение тела в туннеле. Если тело массы $M$ находится на расстоянии $x$ от центра Земли, то на него действует сила тяготения, определяемая формулой $F(x) = \frac{Mg_{0}x}{R_{з}}$ (см. задачу 11414). Так как $\frac{F (x)}{x} = \frac{Mg_{0}}{R_{з}} = const = k$, то движение тела является гармоническим колебанием вокруг центра Земли, причем период колебаний можно найти из известного соотношения (см. задачу 11410): $T_{2} = 2 \pi \sqrt{ \frac{M}{k} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{R_{з} }{g_{0} } }$. Следовательно, действительно, $T_{1} = T_{2}$.
Обратите внимание, что в условиях задачи отсутствует вопрос о величине периодов $T_{1}$ или $T_{2}$. Нельзя ли доказать их равенство, не вычисляя самих периодов? Если это удастся сделать, то такое доказательство следует считать более красивым.
Очевидно утверждение: если два тела в некоторый момент времени имеют одинаковые скорости и в дальнейшем движутся с одинаковыми ускорениями, их скорости во все последующие моменты времени совпадают.
Допустим, что тело опущено в туннель $AB$ (см. рисунок) в точке $A$ в тот момент времени, когда спутник пролетает над входом в туннель. Рассмотрим движение проекции спутника на направление $AB$. В любой точке орбиты на спутник действует сила тяжести, направленная к центру Земли. В направлении, параллельном $AB$, спутник в положении С движется под действием составляющей силы тяжести $F_{1} = mg_{0} \cos \alpha = \frac{mg_{0} OC_{1}}{R_{з}}$, где $C_{1}$ - проекция $C$ на $AB$. Точка $C_{1}$ движется по $AB$ с ускорением $g_{1} = \frac{g_{0} OC_{1}}{R_{з}}$, совпадающим по величине с ускорением тела в туннеле, когда это тело находится в положении $C_{1}$. Таким образом, скорость тела в туннеле и проекция скорости спутника на направление $AB$ всегда одинаковы, а следовательно, одинаковы и периоды этих движений.
