Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11413
2019-11-17 
Доказать, что поле тяготения, создаваемое тонким сферическим слоем, однородным по плотности, внутри сферы, окруженной этим слоем, отсутствует.
Решение:
Обычно для доказательства этого утверждения используют следующий прием. Рассмотрим шаровой слой, толщина которого мала. Поместим в произвольную точку внутри сферы точечную пробную массу $M$ (см. рисунок). Выделим на поверхности слоя площадку $\Delta S_{1}$, построим конус с вершиной в $M$ и основанием $\Delta S_{1}$ и продолжим боковую поверхность конуса до нового пересечения со слоем. Эта поверхность "вырежет" из слоя площадку $\Delta S_{2}$. Выберем величину $\Delta S_{1}$ настолько малой, чтобы тела $\Delta S_{1}$ и $\Delta S_{2}$ по отношению к пробной массе $M$ можно было считать точечными массами. Тогда $M$ притягивается этими массами с силами
$F_{1} = \frac{ \gamma M \Delta m_{1} }{r_{1}^{2}}, F_{2} = \frac{ \gamma M \Delta m_{2} }{r_{2}^{2} }$, (1)
направленными в противоположные стороны. В формулах (1) $\Delta m_{1}$ и $\Delta m_{2}$ - массы тел $\Delta S_{1}$ и $\Delta S_{2}$; $r_{1}$ и $r_{2}$ - расстояния $M$ до этих тел. Нетрудно убедиться, что построенные конусы подобны друг другу, а это значит, что $\frac{ \Delta S_{1}}{ \Delta S_{2}} = \left ( \frac{r_{1} }{r_{2} } \right )^{2}$, откуда $\frac{ \Delta m_{1} }{ \Delta m_{2}} = \frac{ \Delta S_{1} }{ \Delta S_{2} } = \left ( \frac{r_{1} }{r_{2} } \right )^{2}$. Подставляя последнее выражение в формулы (1), приходим к выводу, что $F_{1} = F_{2}$, т. е. равнодействующая сил взаимодействия $M$ с массами $\Delta m_{1}$ и $\Delta m_{2}$ равна нулю.
Поскольку весь шаровой слой можно разбить на пары элементов, обладающих этим свойством, сила взаимодействия $M$ со слоем равна нулю и не зависит от положения точки $M$ внутри слой. Следовательно, поле внутри слоя отсутствует.
Приведенное доказательство громоздко. Кроме того, если точка $M$ близка к внутренней поверхности слоя, требуются дополнительные рассуждения, доказывающие сцраведливость результата и в этом случае.
Используем другой способ доказательства, представляя поле в виде картины силовых линий.
Очевидно, что силовые линии поля внутри слоя, если они существуют, должны располагаться сферически симметрично. Симметрия может быть разных типов. Кубик и диск симметричны, но, как интуитивно ясно, каждый по-своему. Сферической симметрией обладает, например, одноцветный круглый мячик: как бы мы его ни поворачивали, он всегда выглядит одинаково.
Сферически симметричными в совокупности являются только линии, которые выходят из центра О в виде лучей во всевозможных направлениях. Однако силовые линии не могут пересекаться в точке, в которой отсутствует вещество. Следовательно, силовых линий внутри слоя вообще нет, т. е. поле тяжести там отсутствует. Это доказательство является строгим.
Соображения симметрии играют важную роль в физике. Нам еще придется встретиться с их применением.
Доказать, что поле тяготения, создаваемое тонким сферическим слоем, однородным по плотности, внутри сферы, окруженной этим слоем, отсутствует.
Решение:
Обычно для доказательства этого утверждения используют следующий прием. Рассмотрим шаровой слой, толщина которого мала. Поместим в произвольную точку внутри сферы точечную пробную массу $M$ (см. рисунок). Выделим на поверхности слоя площадку $\Delta S_{1}$, построим конус с вершиной в $M$ и основанием $\Delta S_{1}$ и продолжим боковую поверхность конуса до нового пересечения со слоем. Эта поверхность "вырежет" из слоя площадку $\Delta S_{2}$. Выберем величину $\Delta S_{1}$ настолько малой, чтобы тела $\Delta S_{1}$ и $\Delta S_{2}$ по отношению к пробной массе $M$ можно было считать точечными массами. Тогда $M$ притягивается этими массами с силами
$F_{1} = \frac{ \gamma M \Delta m_{1} }{r_{1}^{2}}, F_{2} = \frac{ \gamma M \Delta m_{2} }{r_{2}^{2} }$, (1)
направленными в противоположные стороны. В формулах (1) $\Delta m_{1}$ и $\Delta m_{2}$ - массы тел $\Delta S_{1}$ и $\Delta S_{2}$; $r_{1}$ и $r_{2}$ - расстояния $M$ до этих тел. Нетрудно убедиться, что построенные конусы подобны друг другу, а это значит, что $\frac{ \Delta S_{1}}{ \Delta S_{2}} = \left ( \frac{r_{1} }{r_{2} } \right )^{2}$, откуда $\frac{ \Delta m_{1} }{ \Delta m_{2}} = \frac{ \Delta S_{1} }{ \Delta S_{2} } = \left ( \frac{r_{1} }{r_{2} } \right )^{2}$. Подставляя последнее выражение в формулы (1), приходим к выводу, что $F_{1} = F_{2}$, т. е. равнодействующая сил взаимодействия $M$ с массами $\Delta m_{1}$ и $\Delta m_{2}$ равна нулю.
Поскольку весь шаровой слой можно разбить на пары элементов, обладающих этим свойством, сила взаимодействия $M$ со слоем равна нулю и не зависит от положения точки $M$ внутри слой. Следовательно, поле внутри слоя отсутствует.
Приведенное доказательство громоздко. Кроме того, если точка $M$ близка к внутренней поверхности слоя, требуются дополнительные рассуждения, доказывающие сцраведливость результата и в этом случае.
Используем другой способ доказательства, представляя поле в виде картины силовых линий.
Очевидно, что силовые линии поля внутри слоя, если они существуют, должны располагаться сферически симметрично. Симметрия может быть разных типов. Кубик и диск симметричны, но, как интуитивно ясно, каждый по-своему. Сферической симметрией обладает, например, одноцветный круглый мячик: как бы мы его ни поворачивали, он всегда выглядит одинаково.
Сферически симметричными в совокупности являются только линии, которые выходят из центра О в виде лучей во всевозможных направлениях. Однако силовые линии не могут пересекаться в точке, в которой отсутствует вещество. Следовательно, силовых линий внутри слоя вообще нет, т. е. поле тяжести там отсутствует. Это доказательство является строгим.
Соображения симметрии играют важную роль в физике. Нам еще придется встретиться с их применением.
