Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11412
2019-11-17 
Доказать, что силовые линии гравитационного поля не могут пересекаться или касаться друг друга в тех точках, где отсутствуют массивные тела.
Решение:
Напряженность поля тяготения равна отношению силы, которая действует со стороны поля на точечную массу, помещенную в исследуемую точку, к величине этой массы, т. е. равна ускорению силы тяжести в этой точке. Силовыми линиями поля называются линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением напряженности поля в этой точке, а густота линий в любой области пропорциональна величине напряженности поля в этой области. (Густотой силовых линий называется количество линий, проходящих через перпендикулярную к линиям площадку единичной площади.)
Часто, давая понятие "силовой линии", приводят лишь первую часть определения. Это неверно: физический смысл имеет только семейство, совокупность силовых линий, но не отдельная линия. Понятие о семействе линий впервые ввел М. Фарадей.
Допустим, что в точке $A$ (см. рис. а) силовые линии пересекаются или касаются друг друга. Тогда по мере приближения к точке $A$ силовые линии неограниченно сближаются, т. е. неограниченно увеличивается их густота, а следовательно, и напряженность поля. Из закона всемирного тяготения и принципа суперпозиции следует, что если поле создано конечным числом массивных тел, массы которых ограничены, то нигде вне этих тел напряженность поля не может быть бесконечной. По принципу суперпозиции напряженность суммарного поля есть сумма напряженностей полей отдельных тел, а сумма конечного числа ограниченных величин имеет конечное значение. Это и доказывает утверждение, содержащееся в тексте задачи.
Представление поля в виде картины силовых линий не только очень наглядно, но и позволяет просто получать многие важные результаты. В то же время в самом определении понятия "силовая линия" содержится некий произвол, так как не существует общепринятой единицы для измерения густоты линий. Одно и то же поле (однородное поле на рис. б, например) в зависимости от индивидуального вкуса можно изобразить как частыми, так и редкими линиями. Чтобы устранить эту неопределенность, вводят другую характеристику поля, величина которой пропорциональна густоте линий: поток напряженности через поверхность. Выделим в однородном поле (см. рис, в) плоскую площадку площадью $S$, перпендикуляр $\vec{n}$ к которой составляет с направлением напряженности $\vec{g}$ угол $\alpha$. Потоком напряженности через эту площадку называют величину $\Phi = gS \cos \alpha$.
Если мы имеем дело с неоднородным полем, то при определении $\Phi$ площадку $S$ следует выбрать настолько малой, чтобы в ее пределах поле можно было считать однородным, а саму площадку - плоской.
Очевидно, что поток через площадку максимален в том случае, когда площадка перпендикулярна к направлению напряженности. Чем больше величина максимального потока, тем гуще в этой области поля силовые линии.
Для лучшего понимания смысла введенной характеристики полезно рассмотреть следующий пример из гидродинамики.
Пусть в некотором объеме имеется установившееся течение жидкости. Структуру этого течения можно характеризовать так называемыми линиями тока - линиями, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением скорости жидкости в этой точке (представьте себе, что на рис. в изображены эти линии тока). Величина $\Phi_{ж} = vS \cos \alpha$, где $v$ - скорость жидкости, есть объем жидкости, протекающей в единицу времени через площадку $S$, расположенную относительно линий тока, как указано на рисунке. Эту величину обычно и называют потоком жидкости через $S$. Чем больше $\Phi_{ж}$, тем гуще линии тока (на рис. г изображено вертикальное сечение струи, вытекающей из водопроводного крана, и нарисованы линии тока).
Рассмотрим поле тяготения точечной массы $m$ (см. рис. д). Окружим массу воображаемой сферой радиусом $R$ с центром в той точке, где находится масса, и подсчитаем поток напряженности через поверхность этой сферы. Для этого разобьем сферу на малые участки, которые можно считать плоскими, вычислим поток через каждый участок, а затем найдем сумму этих потоков. Условимся считать, что перпендикуляр п к каждому из участков направлен изнутри сферы (такое направление перпендикуляра называют внешней нормалью к поверхности). Так как напряженность поля на поверхности постоянна, $g = \frac{ \gamma m}{R^{2}}$, и направлена в сторону, противоположную внешней нормали, поток через сферу $\Phi = - 4 \pi R^{2}g = - 4 \pi \gamma m$ и не зависит от радиуса сферы.
Докажем, что величина потока не зависит и от формы поверхности, внутри которой находится $m$ (в доказательстве ограничимся случаем выпуклой поверхности). Построим произвольную выпуклую поверхность $S^{ \prime}$ (см. рис. д); разобьем ее на столь малые участки, чтобы каждый из них можно было считать плоским, а поле в его пределах - однородным. Пусть AS' - один из участков, внешняя нормаль к которому составляет угол а с направлением напряженности. Поток через этот участок $\Delta \Phi^{ \prime} = g (r) \Delta S^{ \prime} \cos \alpha = \gamma \frac{m}{r^{2}} \Delta S^{ \prime} \cos \alpha$, где $r$ - расстояние участка от массы $m$. Построим конус с вершиной в $m$, основанием которого является участок $\Delta S^{ \prime}$. На поверхности сферы радиуса $R$ этот конус вырезает участок площади $\Delta S$, причем $\Delta S = \left ( \frac{R}{r} \right )^{2} \Delta S^{ \prime} | \cos \alpha |$. Следовательно,
$\Delta \Phi^{ \prime} = - \gamma \frac{m}{r^{2}} \left ( \frac{r}{R} \right )^{2} \Delta S = - \gamma \frac{m}{R^{2}} \Delta S$,
т. е. поток через $\Delta S^{ \prime}$ равен потоку через $\Delta S$.
Каждому участку поверхности $S^{ \prime}$ можно сопоставить указанным способом участок нашей сферы, поэтому полные потоки через обе поверхности одинаковы.
Поместим внутрь замкнутой поверхности любой формы произвольно расположенные точечные массы $m_{1}, m_{2}, \cdots, m_{k}$. В соответствии с принципом суперпозиции полный поток через эту поверхность
$\Phi = - 4 \pi \gamma \sum_{i = 1}^{k} m_{i}$.
Это утверждение можно обобщить на замкнутую поверхность любой формы (не обязательно выпуклую). Примем это без доказательства.
Докажем, что если внутри поверхности отсутствуют массивные тела, то поток через эту поверхность равен нулю. Как и раньше, достаточно рассмотреть лишь поле точечной массы. Пусть масса $m$ расположена вне поверхности $S$ (см. рис. е). Построим замкнутую поверхность $S_{1}S_{2}$ (рис. ж), часть $S_{2}$ которой совпадает с $S$ за исключением тонкой "трубки" сечением $\Delta S$, соединяющей $S_{2}$ с $S_{j}$; $S_{1}$ окружает массу $m$. Поток через поверхность $S_{1}S_{2}$ в пределе при $\Delta S \rightarrow 0$ стремится к потоку через поверхность $S_{1}$ без "трубки", так как поток через "трубку" стремится к нулю. Следовательно, поток через $S_{2}$ при $\Delta S \rightarrow 0$ также стремится к нулю. Так как $S_{2}$ при этом совпадает с $S$, утверждение доказано.
Итак, поток через произвольную замкнутую поверхность пропорционален с коэффициентом пропорциональности $- 4 \pi \gamma$ массе вещества внутри поверхности. Это утверждение называется законом Гаусса. Как видно, закон Гаусса не является неким независимым физическим законом - мы получили его как следствие закона всемирного тяготения и принципа суперпозиции для полей тяготения. Однако закон Гаусса не равносилен закону всемирного тяготения, так как последний не является следствием закона Гаусса.
По аналогии с гидродинамикой массивные тела, создающие поле, называют источниками поля. Закон Гаусса, таким образом, утверждает, что поток напряженности через замкнутую поверхность отличен от нуля в том и только в том случае, когда внутри поверхности имеются источники. Аналогичное утверждение для потока жидкости очевидно.
Электростатическое взаимодействие, подобно гравитационному, обратно пропорционально квадрату расстояния между точечными зарядами и подчиняется принципу суперпозиции. Следовательно, закон Гаусса справедлив и для электростатического поля.
Во многих задачах закон Гаусса приводит к результату быстрее и проще, чем непосредственное использование закона всемирного тяготения или закона Кулона (см. задачи 11414).
В заключение еще одно замечание. Если вы внимательно следили за рассуждениями, содержащимися в тексте решения задачи, то должны были заметить, что было негласно использовано такое утверждение: силовые линии непрерывны в тех местах, где отсутствуют массивные тела. Докажем (правда, не очень строго) справедливость этого утверждения, пользуясь законом Гаусса. Пусть силовая линия начинается (или заканчивается) в некой точке $A$, где отсутствует вещество. Мысленно окружим $A$ сферой с центром в $A$ настолько малой, чтобы, во-первых, внутрь этой сферы не попало ни одного массивного тела, или его части, и, во-вторых, чтобы внутри сферы не начиналась, не кончалась никакая другая силовая линия. При этом условии поток через сферу отличен от нуля, что противоречит закону Гаусса. Следовательно, требуемое утверждение доказано.
Доказать, что силовые линии гравитационного поля не могут пересекаться или касаться друг друга в тех точках, где отсутствуют массивные тела.
Решение:
Напряженность поля тяготения равна отношению силы, которая действует со стороны поля на точечную массу, помещенную в исследуемую точку, к величине этой массы, т. е. равна ускорению силы тяжести в этой точке. Силовыми линиями поля называются линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением напряженности поля в этой точке, а густота линий в любой области пропорциональна величине напряженности поля в этой области. (Густотой силовых линий называется количество линий, проходящих через перпендикулярную к линиям площадку единичной площади.)
Часто, давая понятие "силовой линии", приводят лишь первую часть определения. Это неверно: физический смысл имеет только семейство, совокупность силовых линий, но не отдельная линия. Понятие о семействе линий впервые ввел М. Фарадей.
Допустим, что в точке $A$ (см. рис. а) силовые линии пересекаются или касаются друг друга. Тогда по мере приближения к точке $A$ силовые линии неограниченно сближаются, т. е. неограниченно увеличивается их густота, а следовательно, и напряженность поля. Из закона всемирного тяготения и принципа суперпозиции следует, что если поле создано конечным числом массивных тел, массы которых ограничены, то нигде вне этих тел напряженность поля не может быть бесконечной. По принципу суперпозиции напряженность суммарного поля есть сумма напряженностей полей отдельных тел, а сумма конечного числа ограниченных величин имеет конечное значение. Это и доказывает утверждение, содержащееся в тексте задачи.
Представление поля в виде картины силовых линий не только очень наглядно, но и позволяет просто получать многие важные результаты. В то же время в самом определении понятия "силовая линия" содержится некий произвол, так как не существует общепринятой единицы для измерения густоты линий. Одно и то же поле (однородное поле на рис. б, например) в зависимости от индивидуального вкуса можно изобразить как частыми, так и редкими линиями. Чтобы устранить эту неопределенность, вводят другую характеристику поля, величина которой пропорциональна густоте линий: поток напряженности через поверхность. Выделим в однородном поле (см. рис, в) плоскую площадку площадью $S$, перпендикуляр $\vec{n}$ к которой составляет с направлением напряженности $\vec{g}$ угол $\alpha$. Потоком напряженности через эту площадку называют величину $\Phi = gS \cos \alpha$.
Если мы имеем дело с неоднородным полем, то при определении $\Phi$ площадку $S$ следует выбрать настолько малой, чтобы в ее пределах поле можно было считать однородным, а саму площадку - плоской.
Очевидно, что поток через площадку максимален в том случае, когда площадка перпендикулярна к направлению напряженности. Чем больше величина максимального потока, тем гуще в этой области поля силовые линии.
Для лучшего понимания смысла введенной характеристики полезно рассмотреть следующий пример из гидродинамики.
Пусть в некотором объеме имеется установившееся течение жидкости. Структуру этого течения можно характеризовать так называемыми линиями тока - линиями, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением скорости жидкости в этой точке (представьте себе, что на рис. в изображены эти линии тока). Величина $\Phi_{ж} = vS \cos \alpha$, где $v$ - скорость жидкости, есть объем жидкости, протекающей в единицу времени через площадку $S$, расположенную относительно линий тока, как указано на рисунке. Эту величину обычно и называют потоком жидкости через $S$. Чем больше $\Phi_{ж}$, тем гуще линии тока (на рис. г изображено вертикальное сечение струи, вытекающей из водопроводного крана, и нарисованы линии тока).
Рассмотрим поле тяготения точечной массы $m$ (см. рис. д). Окружим массу воображаемой сферой радиусом $R$ с центром в той точке, где находится масса, и подсчитаем поток напряженности через поверхность этой сферы. Для этого разобьем сферу на малые участки, которые можно считать плоскими, вычислим поток через каждый участок, а затем найдем сумму этих потоков. Условимся считать, что перпендикуляр п к каждому из участков направлен изнутри сферы (такое направление перпендикуляра называют внешней нормалью к поверхности). Так как напряженность поля на поверхности постоянна, $g = \frac{ \gamma m}{R^{2}}$, и направлена в сторону, противоположную внешней нормали, поток через сферу $\Phi = - 4 \pi R^{2}g = - 4 \pi \gamma m$ и не зависит от радиуса сферы.
Докажем, что величина потока не зависит и от формы поверхности, внутри которой находится $m$ (в доказательстве ограничимся случаем выпуклой поверхности). Построим произвольную выпуклую поверхность $S^{ \prime}$ (см. рис. д); разобьем ее на столь малые участки, чтобы каждый из них можно было считать плоским, а поле в его пределах - однородным. Пусть AS' - один из участков, внешняя нормаль к которому составляет угол а с направлением напряженности. Поток через этот участок $\Delta \Phi^{ \prime} = g (r) \Delta S^{ \prime} \cos \alpha = \gamma \frac{m}{r^{2}} \Delta S^{ \prime} \cos \alpha$, где $r$ - расстояние участка от массы $m$. Построим конус с вершиной в $m$, основанием которого является участок $\Delta S^{ \prime}$. На поверхности сферы радиуса $R$ этот конус вырезает участок площади $\Delta S$, причем $\Delta S = \left ( \frac{R}{r} \right )^{2} \Delta S^{ \prime} | \cos \alpha |$. Следовательно,
$\Delta \Phi^{ \prime} = - \gamma \frac{m}{r^{2}} \left ( \frac{r}{R} \right )^{2} \Delta S = - \gamma \frac{m}{R^{2}} \Delta S$,
т. е. поток через $\Delta S^{ \prime}$ равен потоку через $\Delta S$.
Каждому участку поверхности $S^{ \prime}$ можно сопоставить указанным способом участок нашей сферы, поэтому полные потоки через обе поверхности одинаковы.
Поместим внутрь замкнутой поверхности любой формы произвольно расположенные точечные массы $m_{1}, m_{2}, \cdots, m_{k}$. В соответствии с принципом суперпозиции полный поток через эту поверхность
$\Phi = - 4 \pi \gamma \sum_{i = 1}^{k} m_{i}$.
Это утверждение можно обобщить на замкнутую поверхность любой формы (не обязательно выпуклую). Примем это без доказательства.
Докажем, что если внутри поверхности отсутствуют массивные тела, то поток через эту поверхность равен нулю. Как и раньше, достаточно рассмотреть лишь поле точечной массы. Пусть масса $m$ расположена вне поверхности $S$ (см. рис. е). Построим замкнутую поверхность $S_{1}S_{2}$ (рис. ж), часть $S_{2}$ которой совпадает с $S$ за исключением тонкой "трубки" сечением $\Delta S$, соединяющей $S_{2}$ с $S_{j}$; $S_{1}$ окружает массу $m$. Поток через поверхность $S_{1}S_{2}$ в пределе при $\Delta S \rightarrow 0$ стремится к потоку через поверхность $S_{1}$ без "трубки", так как поток через "трубку" стремится к нулю. Следовательно, поток через $S_{2}$ при $\Delta S \rightarrow 0$ также стремится к нулю. Так как $S_{2}$ при этом совпадает с $S$, утверждение доказано.
Итак, поток через произвольную замкнутую поверхность пропорционален с коэффициентом пропорциональности $- 4 \pi \gamma$ массе вещества внутри поверхности. Это утверждение называется законом Гаусса. Как видно, закон Гаусса не является неким независимым физическим законом - мы получили его как следствие закона всемирного тяготения и принципа суперпозиции для полей тяготения. Однако закон Гаусса не равносилен закону всемирного тяготения, так как последний не является следствием закона Гаусса.
По аналогии с гидродинамикой массивные тела, создающие поле, называют источниками поля. Закон Гаусса, таким образом, утверждает, что поток напряженности через замкнутую поверхность отличен от нуля в том и только в том случае, когда внутри поверхности имеются источники. Аналогичное утверждение для потока жидкости очевидно.
Электростатическое взаимодействие, подобно гравитационному, обратно пропорционально квадрату расстояния между точечными зарядами и подчиняется принципу суперпозиции. Следовательно, закон Гаусса справедлив и для электростатического поля.
Во многих задачах закон Гаусса приводит к результату быстрее и проще, чем непосредственное использование закона всемирного тяготения или закона Кулона (см. задачи 11414).
В заключение еще одно замечание. Если вы внимательно следили за рассуждениями, содержащимися в тексте решения задачи, то должны были заметить, что было негласно использовано такое утверждение: силовые линии непрерывны в тех местах, где отсутствуют массивные тела. Докажем (правда, не очень строго) справедливость этого утверждения, пользуясь законом Гаусса. Пусть силовая линия начинается (или заканчивается) в некой точке $A$, где отсутствует вещество. Мысленно окружим $A$ сферой с центром в $A$ настолько малой, чтобы, во-первых, внутрь этой сферы не попало ни одного массивного тела, или его части, и, во-вторых, чтобы внутри сферы не начиналась, не кончалась никакая другая силовая линия. При этом условии поток через сферу отличен от нуля, что противоречит закону Гаусса. Следовательно, требуемое утверждение доказано.
