Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11411
2019-11-17 
Два бруска с массами $m_{1}$ и $m_{2}$, лежащие на гладком столе, соединены невесомой пружиной с коэффициентом жесткости $k$. Бруски разводят в противоположные стороны, растягивая при этом пружину на величину $\Delta l$, и одновременно отпускают. Найти основные характеристики движения брусков.
Решение:
Импульс системы из двух брусков и пружины в момент освобождения брусков равен нулю. На основе закона сохранения импульса $m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2} = 0$, где $v_{1}$ и $v_{2}$ - проекции мгновенных скоростей брусков 1 и 2 на горизонтальную ось. Следовательно, отношение скоростей брусков во времени неизменно: $\frac{v_{1}}{v_{2}} = - \frac{m_{2} }{m_{1} } = const$. Но если у двух тел скорости пропорциональны друг другу, то с тем же коэффициентом пропорциональны и пути, пройденные телами за любой промежуток времени: $\frac{x_{1}}{x_{2}} = = - \frac{m_{2}}{m_{1}} = const$, где $x_{1}$ и $x_{2}$ - длины путей к произвольному моменту времени, отсчитанные, например, от начального положения.
Последнее соотношение можно переписать так:
$x_{1}m_{1} + x_{1}m_{2} = 0$. (1)
Из определения центра масс (см. задачу 11386) и равенства (1) следует, что несмотря на движение отдельных элементов, центр масс системы в целом остается неподвижным. Доказанное утверждение часто приводится в следующей формулировке: "Внутренние силы не могут изменить положение центра масс". Именно эту теорему забыл барон Мюнхгаузен, вытащив самого себя из болота за волосы, да еще с конем впридачу.
При некотором положении грузов натяжение пружины, очевидно, обращается в нуль. Будем под $y_{1}$ и $y_{2}$ понимать смещения грузов от этих положений; для $y_{1}$ и $y_{2}$ равенство (1) остается, очевидно, так же справедливым. При этом величина $y_{1} - y_{2}$ есть удлинение пружины по сравнению с нерастянутым состоянием, причем
$k(y_{1} - y_{2}) = - F$, (2)
где $F$ - натяжение пружины в момент, когда грузы занимают указанные положения.
С учетом равенства (1) можно найти, что
$k \left ( y_{1} + \frac{y_{1}m_{1}}{m_{2}} \right ) = k \left ( 1 + \frac{m_{1}}{m_{2}} \right ) y_{1} = - F$. (3)
Таким образом, на груз $m_{1}$ действует сила, пропорциональная его смещению от положения равновесия (когда $y_{1} = 0$) и направленная в сторону, противоположную смещению. Аналогичный результат с другим коэффициентом пропорциональности может быть получен и для груза $m_{2}$. Следовательно, положения, которые занимают грузы в момент, когда пружина нерастянута, являются положениями равновесия этих грузов, причем относительно положений равновесия грузы совершают гармонические колебания (примечание I к задаче 11410) с периодом для $m_{1}$
$T_{1} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m_{1} }{k \left ( 1 + \frac{m_{1} }{m_{2} } \right ) } } = 2 \pi \sqrt{ \frac{m_{1}m_{2} }{k(m_{1} + m_{2} )} }$. (4)
Для вычисления периода $T_{2}$ колебаний груза $m_{2}$ можно:
1) или выполнить те же выкладки, начиная с соотношения (3) ч применительно к грузу $m_{2}$;
2) или поменять в ответе (4) индексы 1 и 2 местами;
3) или - самое лучшее - сообразить, что грузы могут колебаться только с одинаковыми периодами, $T_{1} = T_{2}$.
Амплитуды колебаний $A_{1}$ и $A_{2}$ определяются из соотношений $A_{1} + A_{2} = \Delta l, A_{1}m_{1} = A_{2}m_{2}$, т. е. $A_{1} = \frac{ \Delta l m_{2}}{m_{1} + m_{2}}, A_{2} = \frac{ \Delta l m_{1} }{m_{1} + m_{2} }$.
Заранее не исключено, что максимально возможное сжатие пружины $\Delta l_{1} < \Delta l$. В этом случае произойдет столкновение брусков через сжавшуюся пружину. Если столкновение упругое, то ход событий будет аналогичен рассмотренному в задаче 11409.
Два бруска с массами $m_{1}$ и $m_{2}$, лежащие на гладком столе, соединены невесомой пружиной с коэффициентом жесткости $k$. Бруски разводят в противоположные стороны, растягивая при этом пружину на величину $\Delta l$, и одновременно отпускают. Найти основные характеристики движения брусков.
Решение:
Импульс системы из двух брусков и пружины в момент освобождения брусков равен нулю. На основе закона сохранения импульса $m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2} = 0$, где $v_{1}$ и $v_{2}$ - проекции мгновенных скоростей брусков 1 и 2 на горизонтальную ось. Следовательно, отношение скоростей брусков во времени неизменно: $\frac{v_{1}}{v_{2}} = - \frac{m_{2} }{m_{1} } = const$. Но если у двух тел скорости пропорциональны друг другу, то с тем же коэффициентом пропорциональны и пути, пройденные телами за любой промежуток времени: $\frac{x_{1}}{x_{2}} = = - \frac{m_{2}}{m_{1}} = const$, где $x_{1}$ и $x_{2}$ - длины путей к произвольному моменту времени, отсчитанные, например, от начального положения.
Последнее соотношение можно переписать так:
$x_{1}m_{1} + x_{1}m_{2} = 0$. (1)
Из определения центра масс (см. задачу 11386) и равенства (1) следует, что несмотря на движение отдельных элементов, центр масс системы в целом остается неподвижным. Доказанное утверждение часто приводится в следующей формулировке: "Внутренние силы не могут изменить положение центра масс". Именно эту теорему забыл барон Мюнхгаузен, вытащив самого себя из болота за волосы, да еще с конем впридачу.
При некотором положении грузов натяжение пружины, очевидно, обращается в нуль. Будем под $y_{1}$ и $y_{2}$ понимать смещения грузов от этих положений; для $y_{1}$ и $y_{2}$ равенство (1) остается, очевидно, так же справедливым. При этом величина $y_{1} - y_{2}$ есть удлинение пружины по сравнению с нерастянутым состоянием, причем
$k(y_{1} - y_{2}) = - F$, (2)
где $F$ - натяжение пружины в момент, когда грузы занимают указанные положения.
С учетом равенства (1) можно найти, что
$k \left ( y_{1} + \frac{y_{1}m_{1}}{m_{2}} \right ) = k \left ( 1 + \frac{m_{1}}{m_{2}} \right ) y_{1} = - F$. (3)
Таким образом, на груз $m_{1}$ действует сила, пропорциональная его смещению от положения равновесия (когда $y_{1} = 0$) и направленная в сторону, противоположную смещению. Аналогичный результат с другим коэффициентом пропорциональности может быть получен и для груза $m_{2}$. Следовательно, положения, которые занимают грузы в момент, когда пружина нерастянута, являются положениями равновесия этих грузов, причем относительно положений равновесия грузы совершают гармонические колебания (примечание I к задаче 11410) с периодом для $m_{1}$
$T_{1} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m_{1} }{k \left ( 1 + \frac{m_{1} }{m_{2} } \right ) } } = 2 \pi \sqrt{ \frac{m_{1}m_{2} }{k(m_{1} + m_{2} )} }$. (4)
Для вычисления периода $T_{2}$ колебаний груза $m_{2}$ можно:
1) или выполнить те же выкладки, начиная с соотношения (3) ч применительно к грузу $m_{2}$;
2) или поменять в ответе (4) индексы 1 и 2 местами;
3) или - самое лучшее - сообразить, что грузы могут колебаться только с одинаковыми периодами, $T_{1} = T_{2}$.
Амплитуды колебаний $A_{1}$ и $A_{2}$ определяются из соотношений $A_{1} + A_{2} = \Delta l, A_{1}m_{1} = A_{2}m_{2}$, т. е. $A_{1} = \frac{ \Delta l m_{2}}{m_{1} + m_{2}}, A_{2} = \frac{ \Delta l m_{1} }{m_{1} + m_{2} }$.
Заранее не исключено, что максимально возможное сжатие пружины $\Delta l_{1} < \Delta l$. В этом случае произойдет столкновение брусков через сжавшуюся пружину. Если столкновение упругое, то ход событий будет аналогичен рассмотренному в задаче 11409.
