Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11410
2019-11-17 
Самолет, в кабине которого укреплен математический маятник длиной $l$, движется с ускорением $\vec{a}$. Определить период колебаний маятника.
Решение:
В равновесном состоянии груз маятника движется с тем же ускорением $\vec{a}$, что является результатом действия на груз силы $\vec{G} = m \vec{g}$ притяжения к Земле и силы $\vec{R}_{0}$ натяжения нити. На основе закона Ньютона и рис. а получаем, что
$\begin{cases} m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{R}_{0}, \\ R_{0}^{2} = m^{2} (a^{2} + g^{2} - 2ag \cos \alpha ). \end{cases}$ (1)
Направление нити маятника при этом совпадает с направлением вектора ($\vec{a} - \vec{g}$).
Пусть маятник (рис. б) выведен из положения равновесия на малый угол $\beta$. При этом натяжение нити изменится и станет равным $\vec{R} = \vec{R}_{0} + \Delta \vec{R}$. Динамическое уравнение становится в этом случае таким:
$m( \vec{a} + \Delta \vec{a}) = m \vec{g}+ \vec{R} = m \vec{g} + \vec{R}_{0} + \Delta \vec{R}$, (2)
где $\Delta \vec{a}$ - ускорение маятника относительно точки подвеса.
Из соотношений (1) и (2) следует очевидное равенство $m \Delta \vec{a} = \Delta \vec{R}$. Относительно точки подвеса маятник может двигаться только по окружности радиуса $l$, в противном случае нить растянется или провиснет. Поэтому в относительном ускорении $\Delta a$ можно выделить две составляющие: $\Delta a_{1}$ - центростремительную и $\Delta a_{2}$ - касательную к окружности. Разложив по тем же направлениям вектор $\Delta R$, получаем, что
$\Delta R_{2} = R_{0} \sin \beta$. (3)
Так как угол $\beta$ мал, $\sin \beta \approx \beta$; кроме того, $\beta = \frac{x}{l}$, где $x$ - линейное смещение маятника. Тогда из (3) находим, что
$\Delta R_{2} = R_{0} \beta = \frac{mx}{l} \sqrt{a^{2} + g^{2} - 2ag \cos \alpha }$. (4)
Из последнего равенства следует, что сила, возвращающая груз в положение равновесия, пропорциональна величине отклонения $x$ от этого положения. Груз начнет совершать гармонические колебания (см. Примечание I к задаче) с периодом
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{ \sqrt{a^{2} + g^{2} - 2ag \cos \alpha } } }$.
Полученный результат содержит особенность: при $\alpha = 0$ и $a = g$ знаменатель обращается в нуль, а период стремится к бесконечности. Источник особенности таков: при $\vec{a} = \vec{g}$ маятник свободно падает, натяжение нити обращается в нуль, возвращающей силы не возникает. Выведенный из положения равновесия груз либо остается в новом положении относительно системы отсчета, связанной с точкой подвеса, либо движется равномерно относительно точки подвеса по окружности. В обоих случаях колебания отсутствуют.
Примечание I. Если материальная точка массой $m$ находится в положении устойчивого равновесия, а при ее отклонении от этого положения на величину $x$ возникает такая возвращающая сила $\vec{F}$, что $\vec{F} = - k \vec{x}$, где $k$ - коэффициент пропорциональности, причем $k > 0$, то рассматриваемая материальная точка, будучи выведенной из положения равновесия и предоставленной самой себе, станет совершать гармонические колебания, причем период $T$ этих, так называемых свободных, колебаний окажется равным $2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }$.
Примечание II. Период свободных колебаний является объективной характеристикой систем определенного типа (например, указанных в примечании I), существующей вне зависимости от того, действительно ли система находится в состоянии колебательного движения или пребывает в покое. Поверхностная аналогия - электростатический потенциал. Он определяется через работу, совершаемую силами поля и т. д., но характеризует любую точку этого поля независимо от того, была ли совершена такая работа в действительности или только может быть совершена в принципе.
Самолет, в кабине которого укреплен математический маятник длиной $l$, движется с ускорением $\vec{a}$. Определить период колебаний маятника.
Решение:
В равновесном состоянии груз маятника движется с тем же ускорением $\vec{a}$, что является результатом действия на груз силы $\vec{G} = m \vec{g}$ притяжения к Земле и силы $\vec{R}_{0}$ натяжения нити. На основе закона Ньютона и рис. а получаем, что
$\begin{cases} m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{R}_{0}, \\ R_{0}^{2} = m^{2} (a^{2} + g^{2} - 2ag \cos \alpha ). \end{cases}$ (1)
Направление нити маятника при этом совпадает с направлением вектора ($\vec{a} - \vec{g}$).
Пусть маятник (рис. б) выведен из положения равновесия на малый угол $\beta$. При этом натяжение нити изменится и станет равным $\vec{R} = \vec{R}_{0} + \Delta \vec{R}$. Динамическое уравнение становится в этом случае таким:
$m( \vec{a} + \Delta \vec{a}) = m \vec{g}+ \vec{R} = m \vec{g} + \vec{R}_{0} + \Delta \vec{R}$, (2)
где $\Delta \vec{a}$ - ускорение маятника относительно точки подвеса.
Из соотношений (1) и (2) следует очевидное равенство $m \Delta \vec{a} = \Delta \vec{R}$. Относительно точки подвеса маятник может двигаться только по окружности радиуса $l$, в противном случае нить растянется или провиснет. Поэтому в относительном ускорении $\Delta a$ можно выделить две составляющие: $\Delta a_{1}$ - центростремительную и $\Delta a_{2}$ - касательную к окружности. Разложив по тем же направлениям вектор $\Delta R$, получаем, что
$\Delta R_{2} = R_{0} \sin \beta$. (3)
Так как угол $\beta$ мал, $\sin \beta \approx \beta$; кроме того, $\beta = \frac{x}{l}$, где $x$ - линейное смещение маятника. Тогда из (3) находим, что
$\Delta R_{2} = R_{0} \beta = \frac{mx}{l} \sqrt{a^{2} + g^{2} - 2ag \cos \alpha }$. (4)
Из последнего равенства следует, что сила, возвращающая груз в положение равновесия, пропорциональна величине отклонения $x$ от этого положения. Груз начнет совершать гармонические колебания (см. Примечание I к задаче) с периодом
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{ \sqrt{a^{2} + g^{2} - 2ag \cos \alpha } } }$.
Полученный результат содержит особенность: при $\alpha = 0$ и $a = g$ знаменатель обращается в нуль, а период стремится к бесконечности. Источник особенности таков: при $\vec{a} = \vec{g}$ маятник свободно падает, натяжение нити обращается в нуль, возвращающей силы не возникает. Выведенный из положения равновесия груз либо остается в новом положении относительно системы отсчета, связанной с точкой подвеса, либо движется равномерно относительно точки подвеса по окружности. В обоих случаях колебания отсутствуют.
Примечание I. Если материальная точка массой $m$ находится в положении устойчивого равновесия, а при ее отклонении от этого положения на величину $x$ возникает такая возвращающая сила $\vec{F}$, что $\vec{F} = - k \vec{x}$, где $k$ - коэффициент пропорциональности, причем $k > 0$, то рассматриваемая материальная точка, будучи выведенной из положения равновесия и предоставленной самой себе, станет совершать гармонические колебания, причем период $T$ этих, так называемых свободных, колебаний окажется равным $2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }$.
Примечание II. Период свободных колебаний является объективной характеристикой систем определенного типа (например, указанных в примечании I), существующей вне зависимости от того, действительно ли система находится в состоянии колебательного движения или пребывает в покое. Поверхностная аналогия - электростатический потенциал. Он определяется через работу, совершаемую силами поля и т. д., но характеризует любую точку этого поля независимо от того, была ли совершена такая работа в действительности или только может быть совершена в принципе.
