Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1141
2016-10-20 
В фарфоровую чашку массой $m_{ф} = 100 г$, находящуюся при комнатной температуре $T_{к} = +20^{ \circ} C$, наливают $m_{1} = 150 г$ горячего кофе при температуре $T_{к} = +90^{ \circ} C$. Затем достают из холодильника брикет мороженого, имеющий температуру $T_{2} = —12^{ \circ} C$, и серебряной ложкой (масса ложки $m_{лож} = 15 г$) кладут понемногу мороженое в кофе, каждый раз размешивая его. Так поступают до тех пор, пока не установится температура $T_{3} = +45^{ \circ} C$, когда кофе приятно пить. Оцените, сколько граммов мороженого надо положить для этого в кофе? Потерями тепла пренебречь. Считать известными удельные теплоёмкости воды $C_{в} = 4,2 кДж/(г \cdot ^{ \circ} C)$, льда $C_{л} = 2,1 кДж/(г \cdot ^{ \circ} C)$, серебра $C_{с} = 0,23 кДж/(г \cdot ^{ \circ} C)$, фарфора $C_{ф} = 0,8 кДж/(г \cdot ^{ \circ} C)$ и удельную теплоту плавления льда $\lambda = 340 Дж/г$.
Решение:
Прежде всего, нужно придумать модель, которую можно применить для описания процесса охлаждения кофе при помощи мороженого. Предположим, что мороженое по своим свойствам близко ко льду, то есть имеет примерно одинаковые с ним удельную теплоёмкость и удельную теплоту плавления, и столь же небольшую теплопроводность. Предположим также, что для охлаждения кофе до требуемой температуры в него нужно будет положить мороженое ложечкой несколько раз. Будем считать, что при опускании в мороженое ложечка охлаждается до температуры брикета, а при опускании в кофе — нагревается до температуры напитка. Ввиду малой теплопроводности мороженого от ложечки прогревается только тонкий его слой, и при следующем заборе мороженого из того же места брикета отданная ложечкой теплота будет забрана обратно. В этом случае перенос теплоты ложечкой можно не учитывать. Но возможен и другой способ, когда мороженое берётся каждый раз из нового места брикета, и ложечка отдаёт ему тепло. Теперь можно пытаться решить задачу «в лоб», определяя температуру кофе после каждого следующего забора мороженого из брикета и размешивания кофе. Однако, в задаче не спрашивается, сколько ложек мороженого нужно положить в кофе, а требуется лишь оценить необходимую массу мороженого. Поэтому попытаемся сначала решить задачу в первом приближении. Запишем уравнение теплового баланса для системы, состоящей из чашки, ложки, кофе и мороженого. Энергия, выделяющаяся при охлаждении кофе от температуры $T_{1}$ до температуры $T_{3}$, равна $m_{1}C_{в}(T_{1} — T_{3})$. Она идёт на нагрев фарфоровой чашки от комнатной температуры $T_{к}$ до температуры $T_{3}$, на нагрев искомой массы мороженого $m_{2}$ от температуры $T_{2}$ до температуры $T_{0} = О^{ \circ} С$, на плавление и дальнейший нагрев этой массы от температуры $T_{0}$ до температуры $T_{3}$, а также, если забор мороженого осуществляется каждый раз из нового места брикета, — на нагрев серебряной ложки, которая может помещаться в мороженое и в кофе по нескольку раз, нагреваясь на разное количество градусов, поскольку кофе постепенно охлаждается. Чтобы не рассматривать весь процесс детально (ведь мы ищем оценку), предположим, что ложечка погружается в мороженое и в кофе $n$ раз и каждый раз нагревается на некоторую среднюю разность температур кофе и мороженого $\Delta T_{ср}$. Учитывая всё это, получаем уравнение:
$m_{1}C_{в}(T_{1} - T_{3}) = m_{ф}C_{ф}(T_{3} - T_{к}) + m_{2} (C_{л}(T_{0} - T_{2}) + \lambda + C_{в}(T_{3} - T_{0})) + m_{лож}C_{c}n \Delta T_{ср}$.
Выразим отсюда искомую массу мороженого $m_{2}$ и подставим числовые значения известных величин:
$m_{2} = \frac{m_{1}C_{в}(T_{1}-T_{3}) - m_{ф}C_{ф}(T_{3}-T_{к}) - m_{лож}C_{с}n \Delta T_{ср}}{C_{л}(T_{0}-T_{2}) + \lambda + C_{в}(T{3}-T_{0})} = \frac{28350 - 2000 - 3,45 \cdot n \Delta T_{ср}}{554} г$.
Из полученного соотношения видно, что последнее слагаемое числителя, которое описывает вклад в энергообмен серебряной ложки, имеет примерно одинаковый порядок со вторым слагаемым, описывающим нагрев фарфоровой чашки, и что оба они намного меньше первого слагаемого, отвечающего за охлаждение кофе. Действительно, предположим, что мороженое забирают ложечкой только один раз $(n = 1)$. Среднюю разность температур мороженого и кофе можно считать примерно равной $\Delta T_{ср} \approx 80^{ \circ} С$. Тогда последнее слагаемое равно 276 Дж, и для массы мороженого $m_{2}$ находим:
$m_{2} \approx \frac{26350 - 3,45 \cdot 80 \cdot 1}{554} \approx 47 г$.
Полученный результат означает, что ложечка слабо влияет на процесс охлаждения кофе, так как на её нагревание затрачивается очень небольшое количество тепла. Понятно также, что оценка средней разности температур $\Delta T_{ср}$ и числа заборов мороженого $n$ почти не влияет на ответ. В самом деле, предположим, что мы клали мороженое в кофе в пять приёмов, то есть будем считать, что в ложечку помещается около 10 граммов мороженого. Тогда для массы мороженого $m_{2}$ получим
$m_{2} \approx \frac{26350 - 1380}{554} г \approx 45 г$,
то есть новое значение отличается от найденного ранее всего на два грамма (или примерно на 4%). После всего сказанного становится ясно, что при получении оценочного результата вклад ложки можно вообще не рассматривать, то есть можно не включать соответствующее слагаемое в уравнение теплового баланса — ответ от этого практически не изменится.
В фарфоровую чашку массой $m_{ф} = 100 г$, находящуюся при комнатной температуре $T_{к} = +20^{ \circ} C$, наливают $m_{1} = 150 г$ горячего кофе при температуре $T_{к} = +90^{ \circ} C$. Затем достают из холодильника брикет мороженого, имеющий температуру $T_{2} = —12^{ \circ} C$, и серебряной ложкой (масса ложки $m_{лож} = 15 г$) кладут понемногу мороженое в кофе, каждый раз размешивая его. Так поступают до тех пор, пока не установится температура $T_{3} = +45^{ \circ} C$, когда кофе приятно пить. Оцените, сколько граммов мороженого надо положить для этого в кофе? Потерями тепла пренебречь. Считать известными удельные теплоёмкости воды $C_{в} = 4,2 кДж/(г \cdot ^{ \circ} C)$, льда $C_{л} = 2,1 кДж/(г \cdot ^{ \circ} C)$, серебра $C_{с} = 0,23 кДж/(г \cdot ^{ \circ} C)$, фарфора $C_{ф} = 0,8 кДж/(г \cdot ^{ \circ} C)$ и удельную теплоту плавления льда $\lambda = 340 Дж/г$.
Решение:
Прежде всего, нужно придумать модель, которую можно применить для описания процесса охлаждения кофе при помощи мороженого. Предположим, что мороженое по своим свойствам близко ко льду, то есть имеет примерно одинаковые с ним удельную теплоёмкость и удельную теплоту плавления, и столь же небольшую теплопроводность. Предположим также, что для охлаждения кофе до требуемой температуры в него нужно будет положить мороженое ложечкой несколько раз. Будем считать, что при опускании в мороженое ложечка охлаждается до температуры брикета, а при опускании в кофе — нагревается до температуры напитка. Ввиду малой теплопроводности мороженого от ложечки прогревается только тонкий его слой, и при следующем заборе мороженого из того же места брикета отданная ложечкой теплота будет забрана обратно. В этом случае перенос теплоты ложечкой можно не учитывать. Но возможен и другой способ, когда мороженое берётся каждый раз из нового места брикета, и ложечка отдаёт ему тепло. Теперь можно пытаться решить задачу «в лоб», определяя температуру кофе после каждого следующего забора мороженого из брикета и размешивания кофе. Однако, в задаче не спрашивается, сколько ложек мороженого нужно положить в кофе, а требуется лишь оценить необходимую массу мороженого. Поэтому попытаемся сначала решить задачу в первом приближении. Запишем уравнение теплового баланса для системы, состоящей из чашки, ложки, кофе и мороженого. Энергия, выделяющаяся при охлаждении кофе от температуры $T_{1}$ до температуры $T_{3}$, равна $m_{1}C_{в}(T_{1} — T_{3})$. Она идёт на нагрев фарфоровой чашки от комнатной температуры $T_{к}$ до температуры $T_{3}$, на нагрев искомой массы мороженого $m_{2}$ от температуры $T_{2}$ до температуры $T_{0} = О^{ \circ} С$, на плавление и дальнейший нагрев этой массы от температуры $T_{0}$ до температуры $T_{3}$, а также, если забор мороженого осуществляется каждый раз из нового места брикета, — на нагрев серебряной ложки, которая может помещаться в мороженое и в кофе по нескольку раз, нагреваясь на разное количество градусов, поскольку кофе постепенно охлаждается. Чтобы не рассматривать весь процесс детально (ведь мы ищем оценку), предположим, что ложечка погружается в мороженое и в кофе $n$ раз и каждый раз нагревается на некоторую среднюю разность температур кофе и мороженого $\Delta T_{ср}$. Учитывая всё это, получаем уравнение:
$m_{1}C_{в}(T_{1} - T_{3}) = m_{ф}C_{ф}(T_{3} - T_{к}) + m_{2} (C_{л}(T_{0} - T_{2}) + \lambda + C_{в}(T_{3} - T_{0})) + m_{лож}C_{c}n \Delta T_{ср}$.
Выразим отсюда искомую массу мороженого $m_{2}$ и подставим числовые значения известных величин:
$m_{2} = \frac{m_{1}C_{в}(T_{1}-T_{3}) - m_{ф}C_{ф}(T_{3}-T_{к}) - m_{лож}C_{с}n \Delta T_{ср}}{C_{л}(T_{0}-T_{2}) + \lambda + C_{в}(T{3}-T_{0})} = \frac{28350 - 2000 - 3,45 \cdot n \Delta T_{ср}}{554} г$.
Из полученного соотношения видно, что последнее слагаемое числителя, которое описывает вклад в энергообмен серебряной ложки, имеет примерно одинаковый порядок со вторым слагаемым, описывающим нагрев фарфоровой чашки, и что оба они намного меньше первого слагаемого, отвечающего за охлаждение кофе. Действительно, предположим, что мороженое забирают ложечкой только один раз $(n = 1)$. Среднюю разность температур мороженого и кофе можно считать примерно равной $\Delta T_{ср} \approx 80^{ \circ} С$. Тогда последнее слагаемое равно 276 Дж, и для массы мороженого $m_{2}$ находим:
$m_{2} \approx \frac{26350 - 3,45 \cdot 80 \cdot 1}{554} \approx 47 г$.
Полученный результат означает, что ложечка слабо влияет на процесс охлаждения кофе, так как на её нагревание затрачивается очень небольшое количество тепла. Понятно также, что оценка средней разности температур $\Delta T_{ср}$ и числа заборов мороженого $n$ почти не влияет на ответ. В самом деле, предположим, что мы клали мороженое в кофе в пять приёмов, то есть будем считать, что в ложечку помещается около 10 граммов мороженого. Тогда для массы мороженого $m_{2}$ получим
$m_{2} \approx \frac{26350 - 1380}{554} г \approx 45 г$,
то есть новое значение отличается от найденного ранее всего на два грамма (или примерно на 4%). После всего сказанного становится ясно, что при получении оценочного результата вклад ложки можно вообще не рассматривать, то есть можно не включать соответствующее слагаемое в уравнение теплового баланса — ответ от этого практически не изменится.
