Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11409
2019-11-17 
Математический маятник длиной $l$, подвешенный у наклонной стенки, которая составляет с вертикалью угол $\alpha$, отводят в сторону от стенки на угол $\beta$ и отпускают. Определить период колебаний такого маятника, если стенка абсолютно упругая, а углы $\alpha$ и $\beta$ малы (см. рис. а).
Решение:
Если $\beta \leq \alpha$, соударений со стенкой нет и можно использовать известную формулу $T_{0} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g}}$. Если $\beta > \alpha$, шарик. абсолютно упруго соударяется со стенкой. Пренебрегая длительностью соударения, воспользуемся аналогией между колебательным движением материальной точки и движением проекции материальной точки на диаметр при равномерном вращении последней по окружности (рис. б).
При полном обороте точки по окружности ее проекция на диаметр $AB$ совершает одно полное колебание с амплитудой $R$, что должно соответствовать амплитуде $\beta l$ исследуемого маятника, т. е. $OB = \beta l$. При движении проекции от $O$ к $A$ на расстоянии $OE$, равном $\alpha l$, происходит столкновение, что эквивалентно мгновенному переходу вращающейся точки из $C$ в $D$, минуя дугу $CAD$. Полный период таких колебаний, следовательно, равен времени равномерного движения точки из $D$ через $B$ в $C$.
Из тригонометрических соотношений следует, что $\angle AOC = \angle AOD = arccos \frac{EO}{OC} = arccos \frac{ \alpha}{ \beta}$.
Так как вся дуга окружности соответствует периоду $T_{0}$, т. е. $T_{0} \sim 2 \pi$, а искомый период $T \sim 2 \pi - \angle DOC$, из пропорции получаем, что
$T = T_{0} \frac{2 \pi - 2 arccos ( \alpha / \beta)}{2 \pi} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} } \left ( 1 - \frac{arccos \frac{ \alpha}{ \beta}}{ \pi} \right )$.
Математический маятник длиной $l$, подвешенный у наклонной стенки, которая составляет с вертикалью угол $\alpha$, отводят в сторону от стенки на угол $\beta$ и отпускают. Определить период колебаний такого маятника, если стенка абсолютно упругая, а углы $\alpha$ и $\beta$ малы (см. рис. а).
Решение:
Если $\beta \leq \alpha$, соударений со стенкой нет и можно использовать известную формулу $T_{0} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g}}$. Если $\beta > \alpha$, шарик. абсолютно упруго соударяется со стенкой. Пренебрегая длительностью соударения, воспользуемся аналогией между колебательным движением материальной точки и движением проекции материальной точки на диаметр при равномерном вращении последней по окружности (рис. б).
При полном обороте точки по окружности ее проекция на диаметр $AB$ совершает одно полное колебание с амплитудой $R$, что должно соответствовать амплитуде $\beta l$ исследуемого маятника, т. е. $OB = \beta l$. При движении проекции от $O$ к $A$ на расстоянии $OE$, равном $\alpha l$, происходит столкновение, что эквивалентно мгновенному переходу вращающейся точки из $C$ в $D$, минуя дугу $CAD$. Полный период таких колебаний, следовательно, равен времени равномерного движения точки из $D$ через $B$ в $C$.
Из тригонометрических соотношений следует, что $\angle AOC = \angle AOD = arccos \frac{EO}{OC} = arccos \frac{ \alpha}{ \beta}$.
Так как вся дуга окружности соответствует периоду $T_{0}$, т. е. $T_{0} \sim 2 \pi$, а искомый период $T \sim 2 \pi - \angle DOC$, из пропорции получаем, что
$T = T_{0} \frac{2 \pi - 2 arccos ( \alpha / \beta)}{2 \pi} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} } \left ( 1 - \frac{arccos \frac{ \alpha}{ \beta}}{ \pi} \right )$.
